FRACCIONES
Fracciones Comunes Una fracción común representa partes iguales de un entero. Consiste de dos números y una barra fraccionaria, y se escribe de esta forma
Regla 1 Cuando el denominador es 1, la fracción es igual al número del numerador.
Regla 2: Multiplicar
Ejemplo:
Regla 3: División
Ejemplo:
Regla 4: Suma
Ejemplo:
Ejercicio: Realice la operación que se le pide.
Respuestas
Respuestas
NOTACION CIENTIFICA
C x 10m, donde 1≤c<10 y m es un entero. Cualquier número positivo puede escribirse en notación científica, C x 10m, donde 1≤c<10 y m es un entero.
Esta notación proporciona una manera de trabajar con números muy grandes y números muy pequeños.
Ejemplo 1. La rapidez de la luz es de aproximadamente 300 000 000 m/s. 2. El punto de la i en un libro tiene una masa de aproximadamente 0.000 000 001 kg.
El problema se evita al usar un método que incorpora potencias del número 10: 100=1 101=10 102=10x10=100 103=10x10x10=1000 104=10x10x10x10=10000 105=10x10x10x10x10=100000
La rapidez de la luz es de aproximadamente 300 000 000 m/s. 3 x 108 m/s
Los números representativos menores que la unidad son los siguientes:
Otros ejemplos: El punto de la i en un libro tiene una masa de aproximadamente 0.000 000 001 kg. 1 x 10-9
Por ejemplo, la distancia entre la Tierra y el Sol es de alrededor de 93,000,000 millas. En notación científica 93,000,000 millas = 9.3 x 107 millas
La masa de una molécula de oxígeno es de alrededor de 0.000 000 000 000 000 000 000 053 gramos En notación científica: 5.3 x 10-23g
Convierte a notación científica o viceversa a) 2.375 x 108 e) 3.98 x 10-8 b) 0.000000349 f) 0.000489 c) 7.36 x 10-5 g) 8.64 x 104 d) 9816762.5 h) 0.0357
Respuestas a) 2.375 x 108 = 237500000 b) 0.000000349 = 3.49 x 10-7 c) 7.36 x 10-5 = 0.0000736 d) 9816762.5 = 9.8167625 x 106
e) 3.98 x 10-8 =0.0000000398 f) 0.000489 = 4.89 x 10-4 g) 8.64 x 104 = 86400 h) 0.0357 = 3.57 x 10-2
REGLA DE TRES
La regla de tres es una forma de resolución de problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita.
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Si necesito 2 litros de leche para el desayuno de 8 niños, ¿Cuántos litros de leche se necesita para 15?
De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600 De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600 . ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
si 8 trabajadores realizan todo su trabajo en 10 horas, ¿cuánto tardarán 3 trabajadores en realizar la misma cantidad de trabajo?
Dos ruedas están unidas por una correa transmisora Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm y la segunda de 75 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?
REGLA DE TRES SIMPLE MIXTA
Relación directa
Relación inversa
Relación mixta
Ejemplo Con 12 botes conteniendo cada uno ½ kg de pintura se han pintado 90 m de reja de 80 cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una reja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud.
Información Botes Capacidad (kg) Longitud (m) Altura (cm) 12 ½ 90 80 x 200 120
Información Botes Capacidad (kg) Longitud (m) Altura (cm) 12 ½ 90 80 x 200 120 Botes Capacidad (kg) Longitud (m) Altura Area (m2) 12 0.5 90 0.8 72 x 2 200 1.2 240
Botes Capacidad (kg) Area (m2) 12 0.5 72 X 2 240 Relación Inversa
Botes Capacidad (kg) Area (m2) 12 0.5 72 X 2 240 Relación Directa
Ejemplo 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?
Información Obreros Largo (m) Ancho (m) Días 11 220 48 6 x 300 56 5
Información Obreros Largo (m) Ancho (m) Días Area (m2) 11 220 48 6 10560 x 300 56 5 16800
Obreros Días Area (m2) 11 6 10560 X 5 16800 Relación Inversa
Obreros Días Area (m2) 11 6 10560 X 5 16800 Relación Directa
RESUELVE
Ejercicio 1 Un coche de Mérida a Valladolid tarda 3 horas a una velocidad de 80 kilómetros por hora. ¿Cuántas horas tardará a una velocidad de 120 km por hora?
Ejercicio 2 Calcula la masa de 65 cm3 de mercurio. Considera que éste presenta una densidad de 13.6 g/cm3
Ejercicio 3 Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?
Ejercicio 4 Un estudiante necesita 15.0 g de etanol (alcohol etílico) para un experimento. Si la densidad del alcohol es de 0.789 g/ml, ¿Cuántos mililitros de alcohol necesita?
Ejercicio 5 Leyendo 20 páginas cada día terminé un libro en 33 días. ¿Cuántos días tardaré leyendo 30 páginas diarias?
PROPORCIONES
Proporción es una igualdad entre dos razones. Donde… Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción.
Ejemplo Un abuelo reparte 4 0 pesos entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
Ejemplo Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 pesos. Al cabo de un año han ganado 6450 pesos. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?
Resuelve
Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 pesos. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera.
UNIDADES DE MEDICION
PROPIEDADES CUANTITATIVAS MATERIA PROPIEDADES CUANTITATIVAS Mediciones científicas UNIDADES SI
Unidades SI fundamentales CANTIDAD FISICA NOMBRE DE LA UNIDAD ABREVIATURA Masa Kilogramo kg Longitud Metro m Tiempo Segundo s Corriente eléctrica Ampere A Temperatura Kelvin K Intensidad luminosa Candela cd Cantidad de masa Mol mol
MASA 1 kg 1 g = 1000 g 1000 mg 2.2046 lb 1 lb 0.45359 kg
Cont… MASA 1 lb = 16 onzas 1 uma 1.6605402x10-24g
Ejemplo Si una mujer tiene una masa de 115 lb, ¿qué masa tiene en gramos?
Ejercicio La dosis recomendada para adultos de elixofilina, un fármaco empleado para el tratamiento de asma, es de 6 mg/kg de masa corporal. Calcule la dosis en miligramos para una persona de 150 lb.
Info: Tratamiento= 6 mg/kg Persona = 150 lb ¿Cuánto del medicamento en mg?
Info: Tratamiento= 6 mg/kg Persona = 150 lb = 68040g ¿Cuánto del medicamento en mg?
Info: Tratamiento= 6 mg/kg Persona = 150 lb = 68040g = 68 Info: Tratamiento= 6 mg/kg Persona = 150 lb = 68040g = 68.04kg ¿Cuánto del medicamento en mg?
VOLUMEN 1L = 10-3 m3 1 dm3 103 cm3 1.0567 qt 1000 mL
Cont… VOLUMEN 1 gal = 4qt 3.7854 L 1 cm3 1 mL 1 pulg3 16.4 cm3
Ejemplo Convierta 4.95 qt a mL
Ejemplo Una persona ordinaria tiene alrededor de 200 mg de colesterol en 100 mL de su sangre. Si el volumen total de sangre en una persona es de 5.0 L, ¿Cuántos gramos de colesterol total contiene la sangre de ese individuo?
Info: Persona = 200mg/100 mL Vol. de sangre = 5 Info: Persona = 200mg/100 mL Vol. de sangre = 5.0 L ¿Cuántos g de colesterol total contiene la sangre de ese individuo?
Info: Persona = 200mg/100 mL Vol. de sangre = 5 Info: Persona = 200mg/100 mL Vol. de sangre = 5.0 L ¿Cuántos g de colesterol total contiene la sangre de ese individuo?
Info: Persona = 200mg/100 mL Vol. de sangre = 5 Info: Persona = 200mg/100 mL Vol. de sangre = 5.0 L ¿Cuántos g de colesterol total contiene la sangre de ese individuo?
Ejemplo Calcule la masa en gramos de 1.00 galones de agua. La densidad del agua es de 1.00 g/mL.
Info: galón de H2O, Ρ=1g/ml ¿masa en gramos? 1 gal - 3.7854 L
Info: 1 galón de H2O = 3785.4ml, Ρ=1g/ml. ¿masa en gramos?
PRESION 1 Pa = 1 N/m2 1 kg/m-s2 1 atm 101.325 Pa 760 torr 14.70 lb/pulg2 1 bar 105 Pa
TEMPERATURA 0 K = -273.15ºC -459.67ºF
Ejemplo Si un pronosticador del tiempo predice que durante el día la temperatura alcanzará 31ºC, calcule la temperatura predicha (a) en K; (b) en ºF.
(a) en K (b) en ºF
Ejercicio El etilenglicol, principal ingrediente de los anticongelantes, se congela a -11.5ºC. Calcule el punto de congelación en (a) K; (b) ºF.
DOSIFICACION
Por peso
Un doctor ordena tomar 200 mg de Rocepin a un infante de 15 Un doctor ordena tomar 200 mg de Rocepin a un infante de 15.4 lb cada 8 horas. La etiqueta del medicamento muestra que 75-150 mg/kg por día es el rango de la dosis apropiada. ¿Se encuentra la orden del doctor dentro del rango apropiado?
Información. Infante: 15. 4 lb. Ordenado:200mg/8h Información. Infante: 15.4 lb. Ordenado:200mg/8h. Etiqueta:75-150mg/kg x día
Información. Infante: 15. 4 lb (7kg). Ordenado:200mg/8h Información. Infante: 15.4 lb (7kg). Ordenado:200mg/8h. Etiqueta:75-150mg/kg x día
Ejemplo Se ordenó 1.5mg/kg de solumedrol a un niño con peso de 74.8 lb. Solumedrol se encuentra disponible en 125mg/2mL. ¿Cuántos mL le debe proporcionar la enfermera?
Información. Niño: 74.8lb Orden: 1.5 mg/kg. Etiqueta: 125mg/2ml
Información. Niño: 74.8lb (34kg) Orden: 1.5 mg/kg. Etiqueta: 125mg/2ml
Masa-Masa
Una tableta → 1 → Media tableta → 1/2 → Un cuarto de tableta → 1/4 →
Tres cuartos de tableta → 3/4
Ejemplo Se ordenó 25 mg de Metroprolol. Metroprolol está disponible en tabletas de 50mg. ¿Cuántas tabletas debe la enfermera suministrar?
Ejemplo El cloruro de potasio se encuentra disponible en tabletas de 10 mg. Se ordenó, 40 mg de cloruro de potasio. ¿Cuántas tabletas debe administrar la enfermera?
Masa/líquido para líquidos
1 gota = 0.05 mL 1 gota = 3 microgotas
Dada una cantidad de masa por líquido, ¿Cuánto líquido se requiere?
Ejemplo Se ordena suministrar 0.1g de Dilantin. Éste se encuentra disponible como 30mg/5mL. ¿Cuánto se debe administrar?
DATOS Ordenado: 0.1g Disponible: 30mg/5ml
Ejemplo Si se ordena 40 mg de Lasix y éste se encuentra disponible en presentación de 80 mg/mL, ¿Cuánto se debe suministra?
DATOS Ordenado: 40mg Disponible: 80mg/ml
PORCENTAJE
Ejemplo En un colegio, el 78% de 250 alumnos estudian francés como segundo idioma. ¿Cuántos alumnos estudian francés?
Ejemplo La población de una ciudad aumentó de 1.078.145 a 1.192.932 habitantes, según el censo realizado entre los años 2004 y 2005. ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento de la población entre las dos fechas?
1.192.932- 1.078.145=114787
Prepara una solución al 1% de Brevital (Botella con 500 mg de polvo) Prepara una solución al 1% de Brevital (Botella con 500 mg de polvo). ¿Cuántos mL de agua esterilizada debes usar?
Info: Solución 1%, presentación 500mg ¿mL? 1% = 1g/100mL = 1000mg/100mL = 10mg/mL
EJERCICIOS
Un frasco de AMPICILINA inyectable de 1 g, lo disolvemos en 4 mL de agua destilada. Tenemos que inyectar 250 mg. ¿Cuántos mL vamos a inyectar?
A un cliente se le ordenó 1 mg de Diazepan, el cual se encuentra disponible en tabletas de 2 mg. ¿Cuántas tabletas se le dará?
A un paciente se le ordenó 25 mg de una medicina intravenosa A un paciente se le ordenó 25 mg de una medicina intravenosa. La cual se encuentra en presentación de inyección IV de 50mg/5mL. ¿Cuántos mililitros se le debe administrar?
1.4cc de tetracaina al ½% se suministró ¿Cuántos mg se dieron?
A un paciente se le receta 7 A un paciente se le receta 7.5 mg de Bendrofluazida, ésta se encuentra disponible en tabletas de 2.5 mg. ¿Cuántas tabletas debe de tomar?
A un paciente se le recetó 22 mg de sulfato de gentamicina por medio de una inyección intramuscular. Ésta se encuentra en presentación de inyección IM de 20mg/2mL. ¿Cuántos mililitros se debe administrar?
Calcula la cantidad de dextrosa al 5% que hay en 1000 mL
EXPRESION ALGEBRAICA
EXPRESION ALGEBRAICA Se utiliza para representar una constante, una variable o una combinación de variables y constantes que implican un número finito de operaciones indicadas.
Monomio Un monomio en una variable es el producto de una constante por una variable elevada a una potencia entera no negativa. De este modo, un monomio tiene forma.
Donde a es una constante, x una variable y k ≥ 0 un número entero Donde a es una constante, x una variable y k ≥ 0 un número entero. La constante a es el coeficiente del monomio. Si a≠0, entonces k es el grado del monomio.
Ejemplo: MONOMIO COEFICIENTE GRADO 6 2 3 -5x -5 1 4
Dos monomios axk y bxk del mismo grado y con la misma variable son términos semejantes.
Al sumar o restar estos monomios, los podemos combinar en un único monomio mediante la propiedad distributiva.
Ejemplo:
La suma o la resta de dos monomios con grados distintos es un binomio. La suma o la resta de tres monomios con grados distintos es un trinomio.
Ejemplo
anxn+ an-1xn-1+ an-2xn-2+…+ a1x+a0 POLINOMIO Un polinomio en una variable es una expresión algebraica de la forma anxn+ an-1xn-1+ an-2xn-2+…+ a1x+a0 donde an, an-1, an-2, …, a1, a0 son constantes, llamadas coeficientes de un polinomio, n0 es un entero y x una variable. Si an0, se le llama coeficiente principal del polinomio y n es el grado del polinomio.
Los monomios que conforman a un polinomio son sus términos
Ejemplo Término Término Término Término Término
Ejemplo
EXPONENTES
Exponente, término utilizado en matemáticas para indicar el número de veces que una cantidad se ha de multiplicar por sí misma.
Un exponente se escribe normalmente como un pequeño número o letra en la parte superior derecha de la expresión. Ejemplo: x2 (x+y)3
Por lo tanto… an denota el producto a.a.a…a (n factores)
Leyes de los exponentes:
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo
Ejercicio: Simplifica cada expresión. b) c)
d) e) 60
Ejercicios
ECUACIONES LINEALES
¿Qué es una ecuación? ECUACION Una ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas, cada una de ellas escrita a los lados del signo igual. ECUACION
La expresión que se escribe a la izquierda de la igualdad recibe el nombre de “primer miembro de la ecuación”, y la expresión de la derecha “segundo miembro”. PRIMER MIEMBRO SEGUNDO MIEMBRO
Términos independientes Los términos que llevan x se denominan “términos en x” y aquellos que no van multiplicando a la x se llaman términos independientes. Términos en x Términos independientes
Definición de una ecuación lineal Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación de la forma donde a y b son números reales y a≠0
Resolver una ecuación consiste en encontrar un valor para la incógnita que al sustituirlo en la ecuación haga que la igualdad se cumpla. Por lo tanto…
TEOREMA La ecuación lineal ax+b=0 (donde a≠0) tiene exactamente una solución,
Resuelve:
Ejemplo: Resuelva la ecuación
Ejemplo: Resuelva la ecuación para x
Si se lee la temperatura en dos termómetro, uno Fahrenheit y otro Celcius, entonces F grados es la temperatura Fahrenheit leída y C grados es la temperatura Celcius, la relación de estas temperaturas es: Resuelve esta ecuación para C.
FACTORIZACION
Factorizar un polinomio que contenga la suma de monomios significa encontrar una expresión equivalente que es un producto.
Expresión equivalente que es un producto Factorizar Suma de monomios Expresión equivalente que es un producto Dos factores de 10x2+15x son 5x y 2x+3
FACTOR COMUN Propiedad distributiva en dirección inversa. ab+ac=a(b+c)
Ejemplo 18x3 + 27x2 Factoriza: a)18x3 + 27x2 En primer lugar, determina el máximo factor común. 18x3 + 27x2 9 es el entero más grande que divide 18 y 27 x2 es la expresión más grande que divide a x3 y x2
El MFC de los términos del polinomio es 9x2. 18x3 + 27x2 =9x2(2x)+9x2(3) =9x2(2x+3)
Se coloca fuera el binomio que es el factor común b)x2(x+3)+5(x+3) En esta situación el máximo factor común es el binomio común (x+3). Este se factoriza como sigue: x2(x+3)+5(x+3)=(x+3)(x2+5) Se coloca fuera el binomio que es el factor común
Ejercicio: Factoriza 36x2 – 48x5 51x3(x4-2) + 78y(x4-2)
FACTORIZAR POR AGRUPACION Algunos polinomios sólo tienen un máximo factor común de 1; sin embargo, es posible factorizarlos con un agrupamiento adecuado de los términos. Este proceso se llama factorización por agrupación.
Ejemplo: x3+4x2+3x+12 Factoriza: x3+4x2+3x+12 No hay ningún factor distinto de 1 que los términos tengan en común. No obstante, puede agruparse los términos de modo que tengan un factor común: x3+4x2+3x+12 El factor común es x2 El factor común es 3
=(x3+4x2)+(3x+12) Agrupe términos con factores comunes Ahora factorizamos el polinomio dado, como sigue: x3+4x2+3x+12 =(x3+4x2)+(3x+12) Agrupe términos con factores comunes =x2(x+4)+3(x+4) Factorice el máximo factor común de los términos agrupados. Los otros dos términos ahora tienen al binomio x+4 como factor común. =(x+4)(x2+3) Obtenga como factor MFC, x +4
Ejercicio: Factoriza
FACTORIZACION DE TRINOMIOS Para factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx+ c son necesarios algunos intentos por ensayo y error
Estrategia para factorizar ax2+bx+c Suponga, de momento, que no hay un máximo factor común. Encuentre dos primeros términos cuyo producto sea ax2 ( x + ) ( x + ) = ax2+bx+c
2. Encuentre dos últimos términos cuyo producto sea c: ( x + ) ( x + ) = ax2+bx+c
3. Repita los pasos 1 y 2, por ensayo y error, hasta que la suma del producto de los extremos (E) y la de los internos (I) sea bx: ( x + ) ( x + ) = ax2+bx+c I E Suma de E + I
Ejercicio: Factoriza
FACTORIZACION DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS Si A y B son números reales, o expresiones algebraicas, entonces A2 – B2 = (A + B)(A – B) En palabras: la diferencia de los cuadrados de dos términos se factoriza como el producto de una suma y una resta de dichos términos.
Ejemplo A2 - B2 = (A + B)(A - B) Factorice: Debemos expresar cada término como el cuadrado de algunos monomios y después usar la fórmula para factorizar A2 – B2 A2 - B2 = (A + B)(A - B)
Ejercicio: Factoriza
FACTORIZACION DE TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS Sean A y B números reales, variables o expresiones algebraicas. 1. 2.
Ejemplo Factorice: A2 + 2 A B + B2 = (A + B)2
Ejercicio: Factoriza
FACTORIZACION DE LA SUMA Y RESTA DE DOS CUBOS Factorización de la suma de dos cubos A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 2. Factorización de la diferencia de dos cubos A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) Mismos signos Signos contrarios Mismos signos Signos contrarios
Ejemplo Factorice: A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
Ejercicio: Factoriza
ESTRATEGIA PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO Si hubiera un factor común, factorice el MFC. Determine el número de términos en el polinomio y trate de factorizar como se indica a continuación:
a) Si hay dos términos, ¿se puede factorizar a) Si hay dos términos, ¿se puede factorizar el binomio en alguno de los siguientes productos notables? Diferencia de cuadrados: A2-B2=(A+B)(A-B) Suma de dos cubos: A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2) Diferencia de dos cubos: A3-B3=(A-B)(A2+AB+B2)
b) Si hay tres términos, ¿es un trinomio cuadrado perfecto b) Si hay tres términos, ¿es un trinomio cuadrado perfecto? Si es así, factorícelo en un de los siguientes productos notables: A2+2AB+B2=(A+B)2 A2-2AB+B2=(A-B)2 Si no es un trinomio cuadrado perfecto, trate de factorizarlo por ensayo y error
c) Si hay cuatro términos o más, intente factorizarlos por agrupación. 3. Verifique para ver si hay factores con más de un término en el polinomio factorizado que puedan factorizarse aún más. Si es así, factorice completamente.
EJERCICIOS Factoriza: 4y2-11y+6 6p2-7pq-5q2 16p2-40pq+25q2 169x2+104xy2+16y4 4m2-9 128p2-98q2 x2+36
4z2+12z+9-w2 256k4-625m4 k3—8 12x2-26x-10
FUNCIONES LOGARITMICAS
Definición de los logaritmos Y=log x Significa 10y=x
Ejemplo Para encontrar log 10,000, pregúntese, ¿A qué exponente debe elevarse 10 para producir 10,000?
Ejemplo Para encontrar log 10,000, pregúntese, ¿A qué exponente debe elevarse 10 para producir 10,000? Como 104 = 10,000, vemos que log 10,000=4.
Asimismo…
PROPIEDADES BASICAS DE LOS LOGARITMOS Sea x y y números reales con x>0.
Ejemplo
PROPIEDADES BASICAS DE LOS LOGARITMOS Para 0<b≠1, x>0, y cualquier número real y.
Ejemplo
Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:
Expresa los siguientes logaritmos en forma exponencial:
Expresa de la forma exponencial a la forma logarítmica
Propiedades de los logaritmos 1) logb 1 = 0 2) logb b = 1 3) logb bx = x 4) logb MN = logb M + logb N 6) logb Mp = p logb M 7) logb M = logb N si y sólo si M = N
Usa las propiedades para expandir cada expresión
3) log (x - 1) + log (3) - 3 log (x) = Usa las propiedades para escribir cada expresión como un solo logaritmo: 1) log3 (x) + log 3 (6) = 2) log3 (24) - log3 (4) = 3) log (x - 1) + log (3) - 3 log (x) =
1) log (5) + log (3) = 2) log3 (x + 2) - log3 ( x - 1) = 3) 2 log (x) + log (y) + log (3) =