Bases de la geometría Haroldo Cornejo Olivarí EJÉRCITO DE CHILE COMANDO DE INSTITUTOS Y DOCTRINA Academia Politécnica Militar Geometría Plana Bases de la geometría Haroldo Cornejo Olivarí

Ángulo: Concepto y definición Es la porción de un plano contenido entre dos semirrectas que tienen su origen en común. Es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vértice. El ángulo se designa con una letra griega o tres letras con el vértice en medio (α; β; AOM; ABC; etc)

Ángulo: Concepto y definición Sus componentes son: LADOS: Son las semirrectas. VÉRTICE: Es el punto común de los lados. VALOR O DIMENSIÓN: Es la abertura de los lados.

Clasificación de los ángulos Ángulos Agudos: son aquellos que miden menos de 90 grados. Ángulo Recto: es aquel que mide 90 grados. Ángulo obtuso: son aquellos que miden más de 90 y menos de 180 grados.

Clasificación de los ángulos Ángulo Llano o Extendido: es aquel que mide 180 grados. Ángulo Convexo: son aquellos que miden más de 180 y menos de 360 grados. Ángulo Completo: es aquel que mide 360 grados.

Ángulos complementarios Dos ángulos son complementarios si su suma es un ángulo recto. Complemento de un ángulo agudo es su diferencia con él ángulo recto.

Ángulos suplementarios Dos ángulos son suplementarios si su suma es un ángulo extendido. Suplemento de un ángulo cóncavo es su diferencial al ángulo extendido.

Ángulos adyacentes Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado en común y los otros dos en línea recta. Los ángulos adyacentes son suplementarios.

Ángulos opuestos por el vértice Son aquellos ángulos que tienen un vértice en común y los lados de uno son la prolongación de los lados del otro. Necesariamente son iguales.

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS L // M 1 2 3 4 L 5 6 7 8 M

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Ángulos Correspondientes < 1 y < 5 < 2 y < 6 < 3 y < 7 < 4 y < 8 1 2 3 4 L L // M 5 6 7 8 M

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Ángulos Alternos Internos 1 2 < 3 y < 6 < 4 y < 5 3 4 L L // M 5 6 7 8 M

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Ángulos Alternos Externos 1 2 < 1 y < 8 < 2 y < 7 3 4 L L // M 5 6 7 8 M

Bisectriz Es la semirrecta, que partiendo del vértice divide al ángulo en dos ángulos iguales.

Triángulos El triángulo es una figura geométrica formada por tres lados, unidos en tres puntos llamados vértices. La costumbre es utilizar letras mayúsculas para nombrar los vértices; la letra minúscula representa el lado opuesto al vértice correspondiente, o su longitud. Un lado, o su longitud, se puede también nombrar utilizando el nombre de los dos vértices en sus extremos.

Triángulos La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º

Clasificación de los triángulos (tiene hipervínculos) Según sus ángulos Triángulo acutángulo Triángulo rectángulo Triángulo obtusángulo Según sus lados Triángulo escaleno Triángulo isosceles Triángulo equilátero

Elementos de un triangulo Altura Es la perpendicular desde un vértice de un triángulo hasta al lado opuesto. Existe una por cada vértice. El punto de intersección de las alturas se conoce como ortocentro (O en las figuras).

Perímetro de un triangulo Área de un triangulo b = base del triangulo h = Altura del triangulo Perímetro de un triangulo 2s = a + b + c s = semiperímetro

Elementos de un triangulo Mediana o Transversal de Gravedad Es un segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto, como ta en la figura. Las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro o centro de gravedad (T en la figura).

Elementos de un triangulo Bisectriz interior Es la recta que pasa por un vértice y divide al ángulo interior en dicho vértice en dos partes iguales, como AR en la figura. Las tres bisectrices internas se cortan en tres puntos llamados incentros. Bisectriz exterior Divide en dos partes iguales al ángulo exterior a dicho vértice, como AV en la figura. Las tres bisectrices externas se cortan en tres puntos llamados excentros (I en la figura).

Elementos de un triangulo Mediatriz o simetral Es una recta perpendicular a un lado en su punto medio, como HK en la figura. Las tres mediatrices se cortan en un punto llamado circuncentro (como H en la figura) que es el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices del triángulo.

c2 = a2 + b2 a2 = + q2 b2 = + p2 Teorema de Pitágoras Relaciona los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo c2 = a2 + b2 a2 = + q2 b2 = + p2

Circunferencia y Círculo Haroldo Cornejo Olivarí EJÉRCITO DE CHILE COMANDO DE INSTITUTOS Y DOCTRINA Academia Politécnica Militar Geometría Plana Circunferencia y Círculo Haroldo Cornejo Olivarí

Circunferencia y circulo Es el lugar geométrico de todos los puntos ubicados en un mismo plano, tal que equidistan de otro punto fijo llamado Centro. La distancia entre el centro y cada uno de los puntos se llama Radio. La circunferencia es una línea curva convexa y su longitud es igual a 2пR.

Circunferencia y círculo Es la porción del plano encerrada por la circunferencia . El área de la superficie es igual a

Circunferencia y círculo Una recta puede estar fuera de la circunferencia sin cortar un solo punto de ella. Se dice entonces que la recta es exterior a la curva. Si la recta tiene un punto en contacto, entonces esta recta se llama tangente. Y el punto de contacto es conocido como punto de tangencia (Punto T). La perpendicular a la tangente por el punto de tangencia se llama Normal a la curva en dicho punto, y se confunde con el radio.

Circunferencia y círculo Si se sigue acercando la recta tangente hacia el centro, cortará a la curva en dos puntos, y esta recta se llama Secante. La porción de la secante, comprendida entre los dos puntos de corte se llama Cuerda.

Circunferencia y círculo Segmento circular: Es la superficie encerrada entre una cuerda y el arco subtendido por esta cuerda. El área del segmento circular dependerá de la distancia de la cuerda al centro. Sector Circular: Es la porción del círculo encerrado entre dos radios de la curva y el arco comprendido entre dichos radios. El área del sector circular dependerá de la abertura existente entre los dos radios.

Circunferencia y círculo Posiciones relativas entre dos circunferencias: Circunferencia Exterior a otra: Aquellas circunferencias que no tienen ningún punto en común. Circunferencia Interior a otra: Cuando una de las circunferencias tiene su centro dentro del círculo, pero no existe punto de contacto entre las dos. La circunferencia de centro O2 es interior a la circunferencia O1, mientras que la de centro O3 es exterior.

Circunferencia y círculo Posiciones relativas entre dos circunferencias: Circunferencias Concéntricas: Son aquellas que tienen el mismo centro. Las circunferencias no se tocan en ningún punto. La parte del circulo mayor comprendida entre las dos circunferencias se llama Corona o anillo circular y su área es

Circunferencia y círculo Posiciones relativas entre dos circunferencias: Circunferencias Tangentes: Tienen un solo punto en común. Circunferencias Secantes: Son Circunferencias que se cortan.

Teorema de Thales Haroldo Cornejo Olivarí EJÉRCITO DE CHILE COMANDO DE INSTITUTOS Y DOCTRINA Academia Politécnica Militar Geometría Plana Teorema de Thales Haroldo Cornejo Olivarí

los segmentos a, b, c y d son proporcionales "Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales En el dibujo: Si L1 // L2 // L3 , T y S transversales, los segmentos a, b, c y d son proporcionales T S Es decir: L1 c a = L2 b d ¿DE ACUERDO? L3

Un ejemplo: En la figura L1 // L2 // L3 , T y S transversales, calcula la medida del trazo x 8 24 x 15 Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo al teorema de Thales X 15 Es decir: 8 = 24 Y resolvemos la proporción 24 • x = 8 • 15 Fácil X =8 • 15 24 X = 5

= 3 x+4 x+1 X=5 CD= 5 + 4 = 9 L3 Formamos la proporción L2 T x+1 L1 2 Otro ejemplo: en la figura L1 // L2 // L3 , T y S son transversales, calcula x y el trazo CD L1 L2 L3 T S x+4 x+1 3 2 C D Formamos la proporción 3 x+4 = x+1 2 Resolvemos la proporción 3(x + 1) = 2(x + 4) 3x + 3 = 2x + 8 3x - 2x= 8 - 3 X=5 Luego, como CD = x + 4 CD= 5 + 4 = 9

Si pensamos en una pirámide.. TRIÁNGULOS DE  THALES Dos triángulos se dicen de Thales o que están en posición de Thales, cuando: Tienen un ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos.   S (sombra) H(altura de la pirámide) Podemos ver esto si trasladamos el triángulo formado por el bastón, su sombra y los rayos solares hacia el formado por la pirámide s (sombra) h (altura de bastón)

A esta forma de tomar los trazos, se le llama “la doble L” Triángulos de Thales En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la misma razón  de semejanza  B C A D E AE AB AB AE De acuerdo a esto, en la figura BC// ED, entonces, con los lados de los triángulos AED y ABC ocurre: ED = BC ED O también = BC A esta forma de tomar los trazos, se le llama “la doble L”

Aplicaciones de esta idea Calcula la altura del siguiente edificio x x 5 3 12 Escribimos la proporción Por que 3+12=15 3 15 = 5 Y resolvemos la proporción 3 • x = 5 • 15 x = 75 3 X = 25

Otro ejercicio En el triángulo ABC, DE//BC , calcule x y el trazo AE Formamos la proporción Por que x+3+x = 2x+3 A B C x+3 x 8 12 D E 8 12 = X+3 2x+3 Resolvemos la proporción 8(2x + 3) = 12( x + 3) 16x + 24 = 12x + 36 16x – 12x = 36 – 24 4x = 12 X = 12 = 3 4 Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 = 6

Teorema de Euclides a2 = c · q b2 = c · p hc2 = p · q Relaciona los lados de un triángulo rectángulo con sus proyecciones a2 = c · q b2 = c · p hc2 = p · q

Teorema de la bisectriz AQ = bisectriz del ángulo CAB

Polígonos Haroldo Cornejo Olivarí EJÉRCITO DE CHILE COMANDO DE INSTITUTOS Y DOCTRINA Academia Politécnica Militar Geometría Plana Polígonos Haroldo Cornejo Olivarí

Polígonos Porción de plano limitado por líneas rectas, llamada línea poligonal. En geometría se conoce como poligonal a la línea formada por segmentos cerrada (polígono) o abierta.

Polígono inscrito y circunscrito Un polígono está inscrito en una circunferencia se todos sus vértices son puntos da la circunferencia. Esa circunferencia se dice circunscrita al polígono.

Clasificación de los polígonos Según su forma CONVEXOS - Todos sus ángulos son convexos CONCAVOS - Al menos un ángulo cóncavo REGULARES - Todos sus ángulos y lados iguales IRREGULARES - Al menos un lado distinto Según número de lados

Área de un polígono

FIN Haroldo Cornejo Olivarí EJÉRCITO DE CHILE COMANDO DE INSTITUTOS Y DOCTRINA Academia Politécnica Militar Geometría Plana FIN Haroldo Cornejo Olivarí

Clasificación de los triángulos Triángulo acutángulo: es aquel que tiene sus tres ángulos agudos.

Clasificación de los triángulos Triángulo rectángulo: es aquel que tiene un ángulo recto El lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo, como HK en la figura , se denomina hipotenusa, y los otros dos lados se llaman catetos.

Clasificación de los triángulos Triángulo obtusángulo: es aquel que tiene un ángulo obtuso

Clasificación de los triángulos Según sus lados Triángulo escaleno: es aquel que tiene los tres lados de diferente longitud, y sus tres ángulos también diferentes

Clasificación de los triángulos Según sus lados Triángulo isósceles: es aquel que tiene los tres lados iguales entre sí, y además los ángulos interiores que se oponen a estos lados, tienen igual medida y se llaman ángulos básales. El ángulo formado por los dos lados iguales de un triángulo isósceles, es el ángulo del vértice. El tercer lado se conoce como base.

Clasificación de los triángulos Según sus lados Triángulo equilátero: Es aquel que tiene sus tres lados iguales, y sus ángulos interiores también iguales y miden 60 grados cada uno.