Tema 7 LÍMITES Y CONTINUIDAD Bloque Análisis Matemático

ÍNDICE Límite de la función en un punto. Interpretación geométrica de límite. Límites en el infinito. Definición de límite Propiedades. Algebra de límites. Indeterminaciones. Continuidad en un punto. Continuidad de funciones. Álgebra de funciones continuas. Discontinuidad y tipos.

1▪ Límite de la función en un punto Dada una función, f (x), el límite de f (x), cuando x tiende al valor a, es el valor al que se aproximan los valores de la variable y cuando los valores que toma la variable x están muy próximos al valor de a. Se lee «límite de f (x) cuando x tiende a a » y tiene la siguiente expresión:      

1▪ Límite de la función en un punto    

1▪ Límite de la función en un punto Se define el límite lateral por la derecha de f (x) cuando x tiende a a, como el valor al que se aproxima la variable y cuando la variable x toma valores muy próximos al valor de a, pero superiores a a. Se define el límite lateral por la izquierda de f (x) cuando x tiende a a, como el valor al que se aproxima la variable y cuando la variable x toma valores muy próximos al valor de a, pero inferiores a a.    

▪ Tª de existencia y unicidad del límite en un punto. Э , Э = = l

2▪ Interpretación geométrica de límite     Cuando las funciones son continuas, los limites laterales coinciden.   lim 𝑥→2 + 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→2 − 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→2 𝑓 𝑥 =5

2▪ Interpretación geométrica de límite     Cuando las funciones son continuas, los limites laterales coinciden.    

2▪ Interpretación geométrica de límite        

2▪ Interpretación geométrica de límite

2▪ Interpretación geométrica de límite

3▪ Límites en el infinito   ASÍNTOTA HORIZONTAL

4▪ Cálculo de límites  

4▪ Cálculo de límites

4▪ Cálculo de límites Para poder realizar las operaciones con la expresión ±∞, es necesario conocer antes las siguientes propiedades:

▪ K partido por cero. (k/0) Para resolver este tipo de límites, en los que se divide un numero real (distinto de 0) entre 0, debemos tomar límites laterales. Cuando éstos coincidan significa que existirá el límite. Ejemplo: E

5▪ Propiedades. ALGEBRA DE LIMITES Límite de una constante: Límite de una suma: Límite de un producto:

Límite de un cociente: Límite de una potencia: Límite de una raíz: Límite de un logaritmo:

Veamos los siguientes 7 tipos de indeterminaciones: Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que en estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones. Veamos los siguientes 7 tipos de indeterminaciones:

K - Infinito partido por infinito: - Cero partido por cero: - Infinito menos infinito: - Cero por infinito: Estas las estudiaremos este curso pero las siguientes no: -Infinito elevado a cero: ∞ 0 -Cero elevado a cero 0 0 -Uno elevado a infinito: 1∞ K NO LA TRATAREMOS COMO UNA indeterminación.

6.1▪ Infinito entre infinito (∞/∞) Con este tipo de indeterminación pueden darse tres casos : Si el grado polinomio del denominador es de mayor grado que el numerador. Si el grado del polinomio del numerador es de mayor grado que el denominador. Si el grado del polinomio del numerador y denominador son de igual grado.

6.1▪ Infinito entre infinito (∞/∞) Procedimiento: Sustituyo y compruebo que es ind (∞/∞) . Dividir numerador y denominador por el monomio de mayor grado. Simplificar. -Sustituir (calcular límite). Coeficiente principal P(x)/Coeficiente principal Q(x)

6.2▪ Cero partido por cero (o/o) A)Tipo racional: -Factorizar el polinomio (Factor Común, Productos notables, Ruffini) -Simplificar. -Sustituir (calcular límite). Ejemplos: Observacion: Cuidado al Factorizar el polinomio con el coeficiente principal

-Multiplicar numerador y denominador por el conjugado. B)Tipo irracional: -Multiplicar numerador y denominador por el conjugado. -Aplicar diferencia de cuadrados. -Simplificar y calcular límite. Ejemplos: = No es el conjugado Este es el conjugado porque separa las dos terminos

6.3 ▪ Infinito menos infinito (∞-∞) Al igual que en la anterior indeterminación, aquí también existen dos tipos: A)Tipo racional: Sacar denominador común (m. c. m) Simplificar Calcular el límite lim 𝑥→∞ ( 𝑥+1 2 − 𝑥+4 5 ) = lim 𝑥→∞ ( 𝑥+1 2 − 𝑥+4 5 ) = lim 𝑥→∞ 5𝑥+5−2𝑥−8 10 = lim 𝑥→∞ 3𝑥−3 10 =∞

B)Tipo irracional: Multiplicar por el conjugado al numerador y al denominador. Aplicar diferencia de cuadrados. Simplificar y calcular límite. −∞ ∞

6.4▪ Cero por infinito (0 *∞) Para este tipo de indeterminación encontramos dos formas de proceder. Como sabemos que: Podemos aplicar dos transformaciones: ∞ ─ ∞ ─ 0 ∙ ∞ = = ∞ 1/0 Estas indeterminaciones se resolverán como ya hemos explicado anteriormente. ─ ─ 0 ∙ ∞ = = 1/ ∞

7▪ Continuidad en un punto TEOREMA: Una función f es continua en un punto a si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto. Condiciones para la continuidad de f en x=a: a) Tiene que existir el límite de la función f (x) en x=a, para lo que han de coincidir los límites laterales. b) La función está definida en x=a, es decir, existe f (a). La imagen de dicho punto y el límite tienen que coincidir.

Estudiemos la continuidad de la siguiente función para x=0 lim f (x) = 1 x 0 -x E lim 2 = 1 x 0 De esta forma resolvemos que f (x) es continua en x= 0

7.1▪ Continuidad en un intervalo                  . 7.1▪ Continuidad en un intervalo Diremos que y = f(x) es continua en el (a,b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo abierto (a,b). Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a si                    . Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=b si                    . Diremos que y = f(x) es continua en el [a,b] si: y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b). y = f(x) es continua por la derecha en x=a. y = f(x) es continua por la izquierda en x=b. lim 𝑥→ 𝑎 + 𝑓 𝑥 =𝑓(𝑎) lim 𝑥→ 𝑏 − 𝑓 𝑥 =𝑓(𝑏)

8. Continuidad de funciones Propiedades: Sean f y g dos funciones de variable real: a) Si una función f es de tipo polinómica, exponencial, tipo sen., cos., arctg., son siempre continuas en su dominio de definición. b) Si una función f es continua en R y una función g es continua en R, entonces la composición de dichas funciones también es continua. Ejemplo: e c) Si tenemos una función de tipo racional, irracional o logarítmica, para estudiar la continuidad, debemos estudiar el dominio de la función primero. x3- 3x2 + 3

8. Continuidad de funciones c) Si tenemos una función de tipo racional, irracional o logarítmica, para estudiar la continuidad, debemos estudiar el dominio de la función primero. La función es continua en R− {3}. En x = 3 no es continua porque no está definida.

▪ Continuidad de una función a trozos Es continua en todo R

9. Álgebra de funciones continuas Si f y g son continuas en x = a, entonces: f± g es continua en x = a. f · g es continua en x = a. f / g es continua en x = a, si g (a) ≠ 0. fg es continua en x = a, (f(a) >0) Composición de funciones. Si f(x) es continua en x=a y g(x) es continua en y=f(a)   

10▪ Discontinuidad. tipos Podemos decir que una función es discontinua en un punto si incumple alguna de las condiciones expuestas en el capítulo anterior. A partir de ahí podemos clasificarlas en tres tipos de discontinuidades: → Discontinuidad evitable: No existe imagen. [ f (a) ,es decir, que no hay dominio en ese pto.] La imagen no coincide con el límite. [f (a) ≠ lim f (x) ] → Discontinuidad de 1ª especie o inevitable: De salto finito. De salto infinito. → Discontinuidad de 2ª especie o esencial. No existe uno de los límites laterales o ambos. E

▪ Discontinuidad evitable A su vez, esta discontinuidad tiene dos formas de aparecer: ▫ No existe imagen

▫ La imagen no coincide con el límite. Estas dos funciones se redefinirían de la siguiente forma:

▪ Discontinuidad de 1ª especie o inevitable Es un tipo de discontinuidad en la que la función presenta un salto en el punto. Existen los límites laterales en el punto, pero toman valores diferentes. Dicho concepto de salto se representa de la siguiente forma: Según el tipo de salto nos encontraremos dos tipo de discontinuidades de 1ª especie: de salto finito o de salto infinito.

▫ De salto finito: ▫ De salto infinito: (basta solo con que uno de ellos tienda a infinito)

▪ Discontinuidad de 2ª especie o esencial Se produce cuando no existe uno de los límites laterales o ninguno de los dos. En x = 2 hay una discontinuidad esencial porque no tiene límite por la derecha.