Principios de Estadística Pcipios de Estadistica

Pcipios de Estadistica Control de calidad UTILIDAD técnica de diagnóstico supervisar procesos de producción identificar variaciones y circunstancias anormales. Los conceptos básicos para desarrollar esta teoría se basan en distribuciones muestrales de la media, de la proporción, etc. Pcipios de Estadistica

Gráficos de control para “posición” del proceso. 1. Gráfico basado en valores conocidos de los parámetros X v.a. con distribución normal con media µ y varianza σ2 Entonces, Pcipios de Estadistica

Gráficos de control para “posición” del proceso. LIC = Límite inferior de control = . LSC = Límite superior de control = . Gráfico de control 3 sigmas Pcipios de Estadistica

Pcipios de Estadistica – Grafico de la media Pcipios de Estadistica –

Pcipios de Estadistica Caso 1: Gráfico 3 Ejemplo: Una vez al día se eligen al azar tres muestras de aceites comestibles del proceso de producción y cada uno se analiza para determinar su viscosidad. La experiencia sugiere que cuando un proceso esta controlado, la viscosidad es normal con media 10.5 y desviación estándar de 0.18. Se registran 25 días de observación. Por lo tanto, el desvío muestral (error estandar) es 0.104 y los límites de control: LC=10.5 LIC = 10.5-3*0.104=10.188 LSC =10.5+3*0.104=10.812 Pcipios de Estadistica

Pcipios de Estadistica Caso 1: Gráfico 3 Muestra Elementos Promedios 1 2 3 10.37 10.19 10.36 10.31 10.48 10.24 10.58 10.43 10.77 10.22 10.54 10.51 4 10.47 10.26 10.35 ….. 23 10.71 10.27 10.41 24 10.69 10.4 10.49 25 10.46 10.39 Todos los puntos del gráfico caen dentro de los límites de control, lo que indica un comportamiento estable de la media del proceso. Pcipios de Estadistica

Caso 2: Gráficos estimados basados en parámetros desconocidos k muestras de tamaño n cada una (k≥20) n= 3, 4, 5 o 6. Supongamos entonces que se reunieron k muestras de tamaño n durante un período cuando el proceso estaba en control. Para las medias muestrales, el promedio de las medias es un estimador conveniente, Pcipios de Estadistica

Caso 2: Gráficos estimados 2.1 Estimación basada en S Usando el promedio de los desvíos muestrales, una estimación útil es n 3 4 5 6 7 8 an 0.886 0.921 0.940 0.952 0.959 0.965 Pcipios de Estadistica

Caso 2: Gráficos estimados Limites de control con S LIC= LSC= Pcipios de Estadistica

Caso 2: Gráficos estimados 2.2 Estimación basada en R R =rango(X1, …, Xn) = max(X1, …, Xn) - min(X1, …, Xn) bn promedio de los rangos de los datos estandarizados Entonces, promediando y despejando: n 3 4 5 6 7 8 bn 1.693 2.058 2.325 2.536 2.706 2.844 Pcipios de Estadistica

Pcipios de Estadistica Muestra Elementos Rangos 1 2 3 10.37 10.19 10.36 0.18 10.48 10.24 10.58 0.34 10.77 10.22 10.54 0.55 4 10.47 10.26 10.31 0.21 ….. 23 10.71 10.27 0.47 24 10.69 10.4 0.32 25 10.46 10.35 0.11 bn=b3=1.693 =0.29 Entonces una estimación de la varianza es: Finalmente la varianza para la media de la muestra es , En nuestro caso, 0.172/1.732=0.099 Pcipios de Estadistica

Caso 2: Gráficos estimados Límites de control LIC= LSC= Pcipios de Estadistica

Características generales de los gráficos de control: Se supone que los datos empleados para estimar los parámetros se obtuvieron de un proceso dentro de control. Sin embargo, si un punto del gráfico cae fuera de los límites de control, si se puede encontrar y verificar una causa asignable se recomienda recalcular los límites de control sin ese punto. De manera análoga, si otro punto cae fuera de estos nuevos límites repetir la operación de eliminarlo y volver a calcular los límites. En general un gráfico de control será eficiente si da muy pocas señales fuera de control cuando el proceso esta en control, pero muestra un punto fuera de los límites de control tan pronto como el proceso se sale de control. En este sentido es eficiente, una evaluación de la eficiencia de este gráfico se basa en la “probabilidad de error”. Pcipios de Estadistica

Gráficos de control para “variación” del proceso. Si se tienen k muestras de tamaño n, independientes y la variable de interés tiene distribución normal. Si las desviaciones estándares muestrales y es el promedio de los desvíos muestrales, entonces los valores Si se ubican en un gráfico S, con centro en y se calcula el desvío de los desvíos muestrales como: 1- Gráfico S n 3 4 5 6 7 8 an 0.886 0.921 0.940 0.952 0.959 0.965 Pcipios de Estadistica

Pcipios de Estadistica Gráfico S Límites de control LIC= LSC= LIC será negativa si n < 5, en cuyo caso se considera LIC=0. Pcipios de Estadistica

Pcipios de Estadistica Ejemplo: En la siguiente tabla se presentan observaciones sobre la resistencia al esfuerzo de las cáscaras de huevo (fuerza en psi, necesaria para romperla). Pcipios de Estadistica

Pcipios de Estadistica Gráfico S Pcipios de Estadistica

Pcipios de Estadistica Gráfico R 2. Gráfico R Si Ri son los rangos de las k muestras de tamaño n y es el promedio de estos rangos (línea central). Para estimar el desvío de los rangos se utilizan las mismas técnicas que para el gráfico de basado en R. En esta estimación aparece una nueva constante que mejora el estadístico y se conoce como cn . n 3 4 5 6 7 8 c 0.888 0.880 0.864 0.848 0.833 0.820 n Pcipios de Estadistica

Pcipios de Estadistica Gráfico R Límites de control La expresión de LIC será negativa si n<6, entonces LIC=0 Pcipios de Estadistica

Gráficos de control para atributos El término atributo se utiliza en literatura sobre control de calidad para describir dos situaciones: Cada pieza producida es defectuosa o no defectuosa (cumple las especificaciones o no). Una sola pieza puede tener uno o más defectos y el número de estos están determinados. En el primer caso un gráfico de control se basa en la distribución Binomial, en el segundo en la distribución Poisson. Pcipios de Estadistica

Gráfico P para proporción de defectos Binomial Consideramos una muestra de n piezas obtenidas en un tiempo particular, y sea X el número de piezas defectuosas, y es la proporción de def. Como X tiene distribución Binomial, E(X)=np y V(X)=npq, entonces: 1: p conocida 2: p desconocida Pcipios de Estadistica

Pcipios de Estadistica Gráficos p 1:p conocida Si cada muestra tiene n piezas, el número de piezas defectuosas de la i-ésima muestra es xi, y pi , es la proporción de defectuosas de esa muestra, valores que se trazan en el gráfico de control p. Pcipios de Estadistica

Pcipios de Estadistica En una línea de envasado de cortes de carne vacuna de un frigorífico, se han inspeccionado 25 grupos (uno por día) a razón de 400 uds/grupo. El número de unidades defectuosas (mal envasado) por grupo se muestra en la sig. lista. Construir un grafico de control p a) suponiendo que la maquina que envasa es eficiente en un 98%. b) si no conoce el % de defectos de la maquina que envasa Datos: {8, 14, 10, 4, 13, 9, 7, 11, 15, 13, 5, 14, 12, 8, 15, 11, 9, 18, 6, 12, 6, 12, 8, 15, 14} ; Pcipios de Estadistica

Pcipios de Estadistica Ejemplo Si se supone p=0.02, la proporción de defectuosos por muestra es: Datos en la muestra p: {8/400, 14/400,…, 15/400, 14/400} ; Pcipios de Estadistica

Pcipios de Estadistica Gráficos p p desconocida Si p no se conoce debe estimarse de los datos. Sea el promedio de las proporciones de defectuosas en las k muestras (estimación de la proporción de defectuosas en la población) LIC = LSC = SI LIC es negativo, se sustituye por 0. Pcipios de Estadistica

Pcipios de Estadistica Ejemplo Como p es desconocido, se estima con , en este caso, 0.0263. Pcipios de Estadistica

Gráfico c para la cantidad de defectos por unidad o grupo Poisson Ahora consideremos situaciones donde la observación en cada punto en el tiempo es el número de defectos en una unidad. La unidad puede ser una sola pieza (por ejemplo, una lata de pescado) o un grupo de piezas (por ejemplo, defectos en un conjunto de latas). El gráfico de control para el número de defectos en una pieza está basado en la distribución Poisson. Recordamos que si Y es una variable Poisson su parámetro E(Y)= =V(Y). Dado que la suma de variables Poisson es otra variables Poisson en ambas situaciones se tiene esta distribución. Pcipios de Estadistica

Pcipios de Estadistica Gráfico c conocido: los límites de control serán: LIC = LSC = desconocido, debe estimarse por Si LIC es negativo, se sustituye por 0. Con xi igual al número de defectos en la i-ésima muestra se trazan puntos con alturas x1, x2, …, en el gráfico de control c. Pcipios de Estadistica

Pcipios de Estadistica Ejemplo En el ejemplo anterior, suponga que los datos corresponden a cantidad de defectos encontrados en 25 dias observados. Observamos cantidad, entonces es un grafico c a) si se supone que el promedio de defectos es 11. Pcipios de Estadistica

Respecto a los errores….. En control de calidad hay dos tipos de errores : Error tipo I, cuando se rechaza que el proceso está bajo control pero en realidad se encuentra en dicho estado, Error tipo II, cuando se acepta que el proceso está bajo control pero en realidad está fuera de control. La probabilidad de cometer error tipo I es fijada por el usuario al construir el diagrama, si usa límites probabilísticos para una distribución normal el error tipo I es de 0.01 La probabilidad de cometer error tipo II sólo puede ser calculada si se conoce la distribución del proceso cuando no está bajo control. Pcipios de Estadistica

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