Modelo de ajuste a muestras pequeñas con valores extremos positivos Modelo de ajuste a muestras pequeñas con valores extremos positivos. -Propuesta para facilitar enseñanza de inducción estadística- Autor: Emilio José Chaves Márquez Colombia Ms.D. Ciencias Ambientales. U. of Louisville (L, Ky, USA)

Resumen Desarrolla modelo que ajusta los dos valores extremos de una muestra de datos univariables positivos, asunto aún no resuelto desde la teoría de la curva fdp Normal. Usa tres datos positivos que se asumen representativos: la media U de la muestra, el valor máximo y el valor mínimo. El modelo maneja la media U como una constante matemática. No usa parámetro de dispersión. No remite a tablas de fin de texto. Posee función inversa. Separa magnitud de distribución teórica adimensional. Es coherente, entendible y manejable con hojas de cálculo. Busca facilitar a los jóvenes el aprendizaje de inducción estadística y su aplicación al inicio de investigación cuantitativa. Términos clave Métodos de Investigación - Inducción estadística - Modelos para valores extremos. Clasificación GEL: C14, C15, C18

La pregunta y el problema Si en el aula los estudiantes miden, tabulan y ordenan el peso de cada alumno, surge la pregunta: ¿qué método usar para generar un modelo continuo que pueda predecir sin error alguno los valores extremos máximo y mínimo de la muestra, con ajuste aceptable de la distribución acumulada en el intervalo que separa los valores extremos? La teoría de la curva Normal no tiene solución para este problema planteado hace 100 años como parte de la Teoría de Valores Extremos. El método aquí propuesto parte de la Curva de Lorenz, CL, de una muestra univariable ordenada de mayor a menor K; usa la media de los datos como una constante más los dos valores extremos. Entrega una función K(P) que posee función inversa P(K), apta para su manejo por profesores y alumnos en hojas Excel, sin fórmulas extrañas, ni tablas de fin de texto.

Método por etapas Una muestra de N datos arroja los valores: 1) Media U=100 kilos, 2) Kmáximo = 220 kilos (mayor que U) y 3) Kmínimo= 40 kilos (menor que U). La media U# es el promedio aritmético en unidades reales #. Los tres datos se asumen correctos y representativos (al menos de sí mismos). Las fórmulas claves de cada etapa aparecen en negrilla: 1) a = K máximo/U - 1 …… a=220/100 – 1 = 1,2 coeficiente b = 1 – K mínimo/U ...... b=1 – 40/100 = 0,6 coeficiente e = b/a …… e= 0,6/1,2 = 0,5 exponente 2) Curva de Lorenz L(P) = (a+1)*P –a*P ^ (e+1) L=2,2P – 1.2P^1,5 3) K (P) en medias = dL/dP = a+1 –a(e+1) P^e  K(p)= a+1-(b+a)P^e en medias K(P) real = U# [a+1-( a+b) P^e] en unidades # K#(P) = 100(2,2 – 1,8P^0,5) Kilos Verificación: si P=0 K(0)= Kmáx; si P=1  K(1)=Kmín ambas en medias 4) Función inversa P(K) = [(a+1 – K)/(a+b)] ^(1/e) = [(Kmáx – K)/(Kmáx-Kmín)]^(a/b) a/b= (K máximo/U – 1)/(1- K mín/U)  a/b= ( Kmáx – U)/(U- Kmin) P(K) = [(2,2 – K/100)/1,8] ^2 donde 40<= K# <= 220) Aunque no hace falta conocer la fdp, esta se calcula derivando P(K) respecto a K, y graficando dP / dK vs. K. Para el ejemplo fpd(K) = (-2/100)* [(2,2 – K/100)/1,8]

Tres ejemplos asumiendo U=1 1) Kmáximo=2 Tres ejemplos asumiendo U=1 1) Kmáximo=2.2 medias Kmínimo=0,4 medias Kmax+Kmin= 2,6

2) Kmáximo=1,4 medias Kmínimo=0,4 medias Kmax+Kmin=1,8

3) Kmáximo=1,6 medias Kmínimo=0,4 medias (Kmáx+Kmín=2)

Conclusiones y sugerencias 1) Es un método útil para cursos introductorios en investigación cuantitativa y Análisis de Datos en el aula. Combina términos frecuentes de probabilidad, métodos investigativos, modelos continuos y estadística inductiva. Es innovador, coherente y sencillo. Aunque no se explica aquí, permite generar muestras aleatorias de muchos tamaños de la media y distribuciones posibles. 2) La Curva de Lorenz, L(P) de los datos resulta muy parecida a la del modelo matemático. No usa “desviación estándar”, ni transformadas que cambien los valores medidos. Cuestiona los métodos paramétricos por usar fdp imaginaria como punto de partida. 3) Sugiere: probar la propuesta con grupos de alumnos mientras los teóricos de estadística paramétrica resuelven sus incoherencias. Bastan menos de 8 horas de aula y taller con grupos que manejen bien derivadas y hojas de cálculo en computador personal. 4) Solicita a autoridades de Colciencias, MEN y TICs: a) evaluar la propuesta y dar su concepto; b) definir cómo enseñar investigación univariable, antes de abordar los casos multivariables. FIN. Gracias por su atención y preguntas. MEN= Ministerio de Educación Nacional de Colombia. TICs= Tecnologías de Investigación y Ciencias