APLICACIONES DE LAS FUNCIONES U. D. 12 * 4º ESO E. AC. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Modelo Matemático U. D. 12.2 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

MODELO MATEMÁTICO LA BOMBA DE DESALOJO Un motor desaloja agua de una piscina. A los 2 minutos el nivel de la piscina indica que tiene 1125 litros, a los 5 minutos 825 litros y a los 10 minutos indica 350 litros. ¿Qué función podemos asignar en este caso para relacionar la cantidad de agua desalojada con el tiempo empleado?. Resolución Los datos de la variable tiempo crecen (t) y los datos de variable cantidad de agua (c) estimamos que decrecen de forma proporcional. Probamos que sea una función lineal: c = m.t + n Calculamos la función por la ecuación punto-pendiente: c – 1125 = [(825 – 1125)/(5 – 2)].(t – 2) c – 1125 = – 100.(t – 2)  c = – 100.t + 1325 La función es c(t) = – 100.t + 1325, donde 1325 litros son los iniciales. Comprobamos la tercera toma de datos: c(10) = – 100·10 + 1325 = – 1000 + 1325 = 325 litros. Como la diferencia es muy pequeña (25 l) podemos dar por buena la función. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

MODELO MATEMÁTICO LOGÍSTICA DE SUPERVIVENCIA En una cabaña de montaña se reponen víveres de emergencia en cantidad siempre constante. En un cuaderno de bitácora leemos que 9 personas pudieron sobrevivir 18 días, que en otra ocasión 14 personas sobrevivieron 12 días, y que en una tercera ocasión 17 personas sobrevivieron 10 días. ¿Qué función podemos asignar en este caso para relacionar la cantidad de personas con el número de días?. Resolución Los datos de la variable personas crecen (p) y los datos de variable días (d) estimamos que decrecen de forma inversamente proporcional. Probamos que sea una función de proporcionalidad inversa: d = K / p La cantidad de víveres de emergencia existentes, k, será: k = d.p K = 18·9 = 162 ; K = 12·14 = 168 ; K = 10·17 = 170 Como la diferencia de resultados es muy pequeña, podemos dar por buena la función estimada: f(p) = 167 / d , donde 167 es un valor intermedio de 162, 168 y 170 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

MODELO MATEMÁTICO CULTIVO BIOLÓGICO En un invernadero tenemos cuatro zonas con diferentes temperaturas: – 1ºC, 2ºC, 5ºC y 8ºC; y una misma planta cuyo crecimiento medio es de: 21 cm, 24 cm, 45 cm y 80 cm respectivamente. ¿Qué función podemos asignar en este caso para relacionar el crecimiento medio con la temperatura de la zona?. Resolución Los datos de la variable temperatura (t) crecen y los datos del crecimiento medio (m) crecen de forma no proporcional, pero estimamos que tampoco en exceso, por lo cual creemos que los datos se ajustan a una función cuadrática cóncava: m = a.t2 + b.t + c Tendremos que hallar los valores de a, b y c Para ello tomamos los tres primeros pares de valores que nos dan: (– 1ºC, 21 cm), (2ºC, 24 cm) y (5ºC , 45 cm) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Tenemos que hallar: m(t) = a.t2 + b.t + c … Resolución Tenemos que hallar: m(t) = a.t2 + b.t + c Tendremos que hallar los valores de a, b y c Tomamos los pares: (– 1ºC, 21 cm), (2ºC, 24 cm) y (5ºC , 45 cm) Para (–1 , 21) 21 = a.(–1)2+ b. (–1) + c  a – b + c = 21 (1) Para (2 , 24) 24 = a.(2)2+ b. (2) + c  4.a + 2.b + c = 24 (2) Para (5, 45) 45 = a.(5)2+ b. (5) + c  25.a + 5.b + c = 45 (3) Resolvemos el sistema, despejando c de la (1) y sustituyendo en las otras: 4.a + 2.b + (21 – a + b) = 24 (2) 25.a + 5.b + (21 – a + b) = 45 (3) 3.a + 3.b = 3 (2)  a + b = 1  b = 1 – a 24.a + 6.b = 24 (3)  Sustituyendo b, queda: 24.a + 6.(1 – a) = 24 18.a + 6 = 24  18.a = 18  a = 1 De donde b = 1 – a = 1 – 1 = 0  b = 0  c = 21 – a + b = 21 – 1 = 20 Luego f(t) = t2+ 20 Comprobamos: f(8) = 82+ 20 = 84 Como la diferencia es muy pequeña (80 cm real, 84 cm teórica) podemos dar por buena la función hallada. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

MODELO MATEMÁTICO PLAGA DE RATAS En un barrio marginal detectamos la presencia de ratas, contabilizando un centenar de ellas. Al mes estimamos que se ha triplicado su población; y a los seis meses estimamos que hay unos 80.000 de esos roedores. ¿Qué función podemos asignar en este caso para relacionar el número de roedores con el tiempo transcurrido?. Resolución Los datos del tiempo transcurrido (t), en meses, crecen y los datos del número de roedores (N) crecen de forma muy rápida, por lo que estimamos que su crecimiento es exponencial: N(t) = k.at Tenemos que hallar los valores de k y a. Para t = 0  100 = k.a0 = k.1  100 = k Para t = 1  300 = k.a1 = k.a  300 = 100.a  a = 3 Comprobamos que N = 100.3t : 80.000 = k.a6 = 100.36 = 72.900 Como el valor teórico está próximo al real, damos por buena la función. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

MODELO MATEMÁTICO ESPECIE PROTEGIDA Cada dos años contabilizamos el número de osos pardos que habitan en un parque protegido. En la última década las cantidades anotadas han sido: 20, 30, 34, 37, 39 y 40 osos pardos. ¿Qué función podemos asignar en este caso para relacionar el número de osos con el tiempo transcurrido?. Resolución El tiempo transcurrido (t), en años, crece de dos en dos, y el número de osos (N) crecen de una forma lenta y cada vez menor, por lo que estimamos que su crecimiento es logarítmico: N(t) = k.log (a.t + b) Tenemos que hallar los valores de k , a y b. Para t = 0  20 = k.log b Para t = 2  30 = k.log (2.a + b) Para t = 4  34 = k.log (4.a + b) Como tenemos 3 incógnitas, con estas 3 ecuaciones podría bastar. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Tenemos que hallar N(t) = k.log (a.t + b) Tenemos: 20 = k.log b (1) Resolución Tenemos que hallar N(t) = k.log (a.t + b) Tenemos: 20 = k.log b (1) 30 = k.log (2.a + b) (2) 34 = k.log (4.a + b) (3) De la (1): 20 / k = log b  b = 1020 / k Para k = 20  b = 10 En la (2) 30 = 20·log (2.a + 10)  1,5 = log (2.a + 10)  2.a + 10 = 101,5  2.a + 10 = 31,62  a = 10,81 Luego N(t) = 20.log(10,81·t + 10) Comprobamos: N(4) = 20·log (4.10,81 + 10) = 35 N(6) = 20·log (6.10,81 + 10) = 37 N(8) = 20·log (8.10,81 + 10) = 40 N(10) = 20·log (10.10,81 + 10) = 41 Como el valor teórico está próximo al real, damos por buena la función. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.