Economía de los Recursos Naturales y Mercados de Minerales Curso Gestión y Economía Minera Profesor Octavio Araneda Osés

Temas Eficiencia dinámica – conceptos Métodos matemáticos optimización Aplicaciones

Eficiencia dinámica El objetivo es balancear los usos presentes y futuros de un recurso, maximizando el valor presente de los beneficios netos derivados del uso de ese recurso Implica la asignación del uso del recurso en el tiempo

Ejemplo simple Supongamos un recurso agotable, que tiene una oferta máxima para ser asignada en dos períodos de tiempo La demanda es constante en los dos períodos de tiempo, y está dada por P = 8 – 0.4q, y el costo marginal es constante e igual a $2 / unidad

Si la disponibilidad total del recurso es >= 30, en cada período se va a producir 15 unidades, independiente de la tasa de descuento La disponibilidad es suficiente para cubrir la demanda en ambos períodos. La producción de 15 unidades en el período 1, no reduce la producción del período 2. Período 1 Período 2

Que pasa si la disponibilidad del recurso es menor que 30 Que pasa si la disponibilidad del recurso es menor que 30 ?.... Supongamos que es igual a 20… La asignación eficiente se produce cuando el valor presente de los beneficios netos se maximiza Supongamos que decidimos producir 15 unidades el período 1 y 5 el período 2 Para una asignación de 15 unidades el beneficio neto es el área entre la curva de demanda y la de oferta (triángulo ABC)…. Y para una asignación de 5 unidades, está dado por el área ADEC A B C C E A D

En este caso el valor presente del beneficio neto (VPBN), sería Es decir 45 + 22.73 = 67.73 Esa es la forma de calcular el valor presente de los beneficios netos de una asignación dinámica para este recurso El punto ahora es como encontrar la asignación que Maximiza el VPN

Se puede demostrar que la condición de asignación eficiente de este recurso es aquella que satisface la condición de que el valor presente del beneficio neto marginal de la última unidad producida en el período 1 sea igual al valor presente del beneficio neto marginal del período 2

La asignación optima está en la intersección de las dos líneas (VPBNM son iguales) El área bajo la curva es el valor presente de los beneficios netos, en la intersección de las curvas se obtiene el máximo valor presente de los dos períodos 20 15 10 5 q1 q2 VPBNM1 VPBNM2

Una asignación distinta genera un área bajo las curvas menor 20 15 10 5 q1 q2 VPBNM1 VPBNM2

Optimización bajo restricciones de igualdad Supongamos el problema restringido: Cada una de las m restricciones genera un multiplicador de lagrange

La condición de máximo está dada por: Lo cual constituye un sistema de m+n ecuaciones y m+n incógnitas. Cuál es la interpretación del multiplicador de lagrange? Se puede demostrar que: Es decir corresponde al incremento del valor de la función objetivo al incrementar en una unidad el valor de la restricción. Si la restricción corresponde a un recurso el multiplicador es igual al valor marginal de relajar la restricción

Solución analítica

Solución analítica

De (1) se deduce que la condición de máximo se da cuando los valores presentes de los beneficios marginales netos entre períodos son iguales

El costo de uso La escases intertemporal impone un costo de oportunidad llamado costo marginal de uso. El costo marginal de uso es el valor presente de las oportunidades futuras perdidas. Para el ejemplo anterior, si no hay restricción de recursos (r >= 30), se puede producir 15 unidades y no generar escases en el período siguiente. En este caso el costo marginal de uso es cero. Si la cantidad total de recurso es 20, si se producen 15 unidades en un período, en los siguientes hay escases del recurso. El costo marginal de uso en este caso es mayor que cero. Gráficamente, el costo marginal de uso es la distancia entre el eje horizontal y la intersección de las curvas de beneficios netos marginales. Analíticamente corresponde al valor del multiplicador de lagrange.

Efecto de tasa de descuento Al aumentar la tasa de descuento, se incrementa la producción en el período 1 y se disminuye en el segundo…. Ello porque esta condición le da menos peso al uso futuro de los recursos 20 15 10 5 q1 q2 VPBNM1 VPBNM2