Segunda sesión Efecto fotoeléctrico

Albert Einstein (1879-1955) En 1905 propuso una explicación al efecto fotoeléctrico basado en la idea de Planck. Premio Nóbel en 1921. 2

Efecto Fotoeléctrico (5) Conservación de la energía: h = W + T h – energía de la luz incidente W – función trabajo del metal T – energía cinética de los electrones emitidos 3

Efecto Fotoeléctrico (6) h = h0 + T W = h0 0 – frecuencia umbral O: T = h - h0 4

Efecto Fotoeléctrico (7) 5

La función trabajo para el Ni metálico es 8 La función trabajo para el Ni metálico es 8.05 x 10-19 J ¿Cuál es el valor de la longitud de onda umbral para este elemento? 6

La longitud de onda umbral para el Rb es de 574 nm Calcula la función trabajo del Rb. Si el Rb se irradia con luz de 420 nm ¿Cuál es la energía cinética de los electrones emitidos? 7

Un metal tiene una longitud de onda umbral de 7500 Ǻ ¿Cuál será la velocidad de los electrones emitidos si se ilumina con luz de 5000 Ǻ? 8

Se observa que la radiación que tiene longitudes de onda mayores a 6500 Ǻ no libera electrones de una superficie de Cs no importando que tan intensa sea la radiación ¿Cómo se explica esta observación? 9

La Vieja Teoría Cuántica Modelo Atómico de Bohr La Vieja Teoría Cuántica 10

Niels Bohr (1885-1962) Premio Nóbel en 1922. En 1913 11

Postulados del Modelo de Bohr Postulado 1 (o de Rutherford): “El átomo consta de una parte central llamada núcleo en la que se encuentra localizada la carga positiva, así como, la casi totalidad de la masa. En torno a este núcleo central y a una gran distancia de él giran los electrones en órbitas circulares.” 12

¿A una gran distancia? Tamaño de los átomos: ~10-10 m ~ 10-8 cm ~ Ǻ Tamaño de los núcleos: ~10-14 m (~10-12 cm) 13

Comentario (hidrogenoides) 14

Comentario (2) 15

Comentario (3) 16

Comentario (4) El átomo de Rutherford es inestable porque toda partícula cargada acelerada irradia energía 17

Postulado 2 (De la cuantización del momento angular del electrón): “El momento angular del electrón está cuantizado, de tal manera que de las infinitas órbitas dadas por la ecuación  solo son posibles aquellas en las que su momento angular es un múltiplo entero de h/2π (ħ)” 18

Comentario Momento lineal: p = mv Momento angular: L = r  p L = | r || p | sen Θ 19

Comentario (2) En un círculo Θ = 90º sen 90º = 1 L = mvr mvr = nħ   n entero positivo 20

Comentario (3) Veamos cuales órbitas nos quedan: De : En : 21

Comentario (4) Por la regla de la tortilla: Despejando r: 22

Comentario (5) con n entero ħ, e y m son constantes, llamaremos a la nueva constante a0 o radio de Bohr Se puede calcular el valor de a0 y da 0.529 Ǻ o 5.291772083(19)×10-11 m 1 Å = 10-10 m = 10-8 cm 23

Comentario (6) Por lo tanto: Y en Ǻngstroms r = (n2/Z) (0.529) Ǻ 24

Radios de las órbitas en el H Para el Hidrógeno: Z = 1 Si n=1, r1 = a0 = 0.529 Ǻ Si n=2, r2 = 2.116 Ǻ Si n=3, r3 = 4.761 Ǻ 25

Otros hidrogenoides He+ U91+ Z = 2 Z = 92 r1 = 0.529/2 = =0.2645 Ǻ

Postulado 3 (De la cuantización de la energía): Cuando el electrón se encuentra en órbita permitida no irradia energía. Se vale pasar de una órbita permitida a otra en cuyo caso, el gasto de energía será ΔE = Ef – Ei = h 27

Comentario 28

Comentario (2) De la ecuación  Entonces: Teorema Virial V = -2T 29

Comentario (3) Y: Y, como consecuencia del segundo postulado, “r” está cuantizado, por lo tanto, E debe estar cuantizada. 30

Comentario (3) 31

Comentario (4) (e4m/2ħ2) = 13.6 eV (e4m/2ħ2) = 1312 kJ mole-1 (e4m/2ħ2) = 313 kcal mole-1 En = - Z2/n2 (13.6 eV) n entero positivo (es un número cuántico) 32

Hidrógeno E1 = - 13.6 eV E2 = - 3.4 eV E3 = - 1.51 eV 33

Niveles de Energía 34

Niveles de Energía y Radio 35

Niveles de Energía (3) Estado base o basal: el de menor energía. Estados excitados: el resto. 36

Hidrogenoides He+ Z = 2 E1 = - 22/12 (13.6 eV) = -54.4 eV 37

Energía de Ionización Primera energía de ionización: X(g)  X+(g) + e- 38

Teorema de Koopmans (EI)n = - En Tjalling C. Koopmans: Premio Nobel de Economía 1975. 39

Comentario a la segunda parte del 3er postulado 40

Comentario a la segunda parte del 3er postulado (2) 41

Comentario a la segunda parte del 3er postulado (3) 42

Comentario a la segunda parte del 3er postulado (4) RH – Constante de Rydberg RH = 109,677.581 cm-1 43

Comentario a la segunda parte del 3er postulado (5) Frecuencia de la radiación electromagnética en los espectros 44

Espectros 45

Absorción y Emisión 46

Átomo de H 47

Espectro de Emisión del H 48

Limitaciones Si el modelo de Bohr se quiere aplicar a átomos que no son hidrogenoides, las frecuencias de los espectros dan mayores a las experimentales (se necesitaría una constante de Rydberg para cada átomo). 49

Tarea 9 Encuentre la longitud de onda de la línea espectral que corresponde a la transición de n = 6 a n = 3 para el ión F8+ ¿Cuáles son los potenciales de ionización de los estados n = 6 y n = 3 ¿Cuál es la diferencia de energía entre estos dos estados? 50

Tarea 10 ¿Qué queremos expresar cuando decimos que la energía de un electrón en un átomo está cuantizada? 51

Tarea 11 ¿Cuál sería el número máximo de líneas de emisión del átomo de Hidrógeno si solamente existieran los 6 primeros niveles de energía? 52

Tarea 12 ¿Cuál es la máxima frecuencia de la serie Paschen? 53

Tarea 13 ¿De qué nivel parte un electrón del Hidrógeno que produce una radiación de 4340.5 Ǻ correspondiente a la serie Balmer? 54

Tarea 14 ¿Qué energía se requiere para ionizar el electrón del He+ cuando se encuentra en la órbita n = 6? 55

Tarea 15 Indique el color de la luz emitida cuando el electrón del átomo de Hidrógeno desciende de la quinta a la segunda órbita. 56

Tarea 16 Calcular el radio de la órbita y la energía del electrón para la primera órbita del Li2+. 57

La Teoría Cuántica Moderna Antecedentes

Hipótesis de De Broglie Príncipe Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie (1892-1987). Premio Nóbel en 1929. En 1924: 59

Hipótesis de De Broglie (2) Planck E = h Ondas Einstein E = mc2 Partículas Para la luz: h = mc2 h = mcc = pfc pf – momento de un fotón 60

Hipótesis de De Broglie (3) λ = c/ = h/p λ = h/p 61

Hipótesis de De Broglie (4) Para cualquier partícula: p = mv Longitud de onda de De Broglie Longitud de onda asociada a una partícula 62

Hipótesis de De Broglie (5) La teoría de los cuanta de Einstein es más general es decir, no solo la luz tiene propiedades particulares y ondulatorias, sino que cualquier partícula tiene asociada una onda. Cualquier objeto en movimiento, no importa su masa, tiene asociada una longitud de onda dada por la ecuación de De Broglie. 63

Las partículas se difractan Clinton Davisson and Lester Germer. Premio Nóbel en 1937. En 1927: difracción de electrones. 64

Las partículas se difractan (2) Condición de difracción: λ ~ d 65

Partícula Masa [g] Velocidad [cm seg-1] λ [Ǻ ] e- (1 volt) 9.110-28 5.9107 12 e- (100 volt) 5.9108 1.2 e- (104 volt) 5.9109 0.12 p+ (100 volt) 1.6710-24 1.38107 0.029 α (100 volt) 6.610-24 6.9106 0.015 α (de Ra) 1.51109 6.610-5 Bala (.22) 1.9 3.2104 1.110-23 Pelota de Beis 140 2.5103 1.910-24 66

“Dualidad Onda-Partícula” La confirmación de la hipótesis de De Broglie acabó con la polémica de si los electrones y los fotones eran partículas u ondas. Cualquier objeto tiene propiedades de onda (como la λ) y propiedades de partícula (como la masa). 67

Salón 4 C/D A partir de mañana

Principio de Incertidumbre Werner Heisenberg (1901-1976). Premio Nóbel en 1932. 69

Principio de Incertidumbre (2) Imaginemos el siguiente experimento: Queremos medir la posición de un electrón (al menos su coordenada “x”) con un microscopio hipotético superpoderoso (o sea con ondas). 70

Principio de Incertidumbre (3) Existe un límite en la exactitud con la que se puede determinar la posición de un objeto al interaccionar con una onda: λ ~ tamaño del objeto 71

Principio de Incertidumbre (4) Si el objeto es menor a una λ de la luz usada, no hay cambio en la luz usada si el objeto es movido una distancia menor a una longitud de onda. Por lo tanto, si queremos observar la posición de un electrón muy exactamente, debemos usar longitudes de onda muy cortas. 72

Principio de Incertidumbre (5) Pero cada fotón tiene un momento p = h/λ Una parte de este momento es comunicado al electrón después de la colisión. 73

Principio de Incertidumbre (6) O sea, para poder medir la coordenada x con una precisión de Δx  λ, hemos dado al electrón un momento adicional en la dirección “x” que oscila entre 0 y h/λ: Δpx  h/λ 74

Principio de Incertidumbre (7) 75

Principio de Incertidumbre (8) Por lo tanto, el producto de las incertidumbres en la posición y el momento es: Δpx·Δx  (h/λ)(λ) Relación de Incertidumbre de Heisenberg Δpx·Δx  h 76

Principio de Incertidumbre (9) "The more precisely the POSITION is determined, the less precisely the MOMENTUM is known" 77

Principio de Incertidumbre (10) La Mecánica Clásica se basa en la presunción de que es posible determinar x y p simultáneamente. El momento es necesario para el cálculo de la trayectoria del objeto (su posición en los tiempos futuros) La relación de incertidumbre dice que esto no es posible. 78

Principio de Incertidumbre (11) ¿Es grave esta limitación? Supongamos que nos satisficiéramos con conocer la posición de un electrón en un átomo de 1 Ǻ de diámetro con un 50% de error, o sea 0.5 Ǻ de exactitud. 79

Principio de Incertidumbre (12) Entonces requeriremos un fotón que produzca un cambio mínimo en el momento de: Δpx = h/Δx Δpx = 6.610-27 erg·seg/510-9 cm Δpx = 1.310-18 g·cm/seg 80

Principio de Incertidumbre (13) Dado que la masa del electrón es: me- = 9.110-28 g Y p = mv: Δv = Δp/m Δv = 1.310-18 g·cm·seg-1/ 9.110-28 g Δv = 1.4109 cm/seg 81

Principio de Incertidumbre (14) Que es una velocidad increíblemente grande, de tal manera que el electrón tiene suficiente energía para salirse del átomo. No podemos conocer las trayectorias de los electrones. 82

Principio de Incertidumbre (15) Mas preciso Existe un principio de incertidumbre para cualesquiera dos variables “conjugadas canónicas” 83

Tarea 17 La incertidumbre en la posición de un neutrón que se mueve en línea recta es de 10 Ǻ. Calcular la incertidumbre en: Su momento. Su velocidad. 84

Tarea 18 En un experimento se determinó la posición de un electrón con una incertidumbre de 10-7 cm ¿Cuál es la incertidumbre en su velocidad? 85

Tarea 19 ¿Cuál es la longitud de onda asociada a una bola de nieve de 8.8 g de peso lanzada a una velocidad de 5105 cm/seg? 86

Tarea 20 En un experimento solo se pudo determinar que la velocidad de un electrón se encontraba entre 100 y 1100 cm/seg ¿Cuál es el orden de magnitud de la incertidumbre en su posición? 87

Tarea 21 ¿Por qué no se pueden describir trayectorias para los electrones en un átomo? 88

Tarea 22 Calcular la longitud de onda de un protón que se mueve a una velocidad de 3x103 ms-1. 89

Tarea 23 Calcular la incertidumbre en la posición de un electrón cuya velocidad se conoce con una incertidumbre de 104 ms-1. 90

Tarea 24 Describa un experimento que confirme la hipótesis de De Broglie. 91

Tarea 25 Calcular la frecuencia de un electrón que se mueve a 5x106 ms-1. 92

Chiste Científico Si sabes a que velocidad estás conduciendo, entonces estás perdido

Mecánica Cuántica 94

Mecánica Cuántica Tres formulaciones independientes, pero equivalentes. Heisenberg – Matrices. Schrödinger – Operadores. Dirac – Números “q”. Hilbert demostró que las 3 formulaciones eran equivalentes. 95

La formulación más fácil Erwin Schrödinger (1887-1961) Premio Nóbel 1933 Alrededor de 1925: 96

Postulados de la Mecánica Cuántica 97

Postulado 1 “Para cada estado de un sistema dinámico de N partículas existe una función de onda Ψ que depende de las coordenadas de las N partículas y del tiempo. Dicha función de onda describe al sistema tan completamente como es posible” Ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…,xN,yN,zN,t) 98

Comentario Ψ es una función de 3N+1 variables Todas la información acerca de las propiedades de un estado de un sistema está contenida en la función de onda Ψ correspondiente a dicho estado. 99

Corolario “Si las propiedades del sistema que se desea estudiar no dependen del tiempo, la función de onda no depende del tiempo Ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…,xN,yN,zN) y se llama función de onda de estado estacionario” (3N variables). 100

Comentario Es el caso de la energía en un átomo. Los átomos no están irradiando energía, de tal manera que no depende del tiempo. 101

Postulado 2 “Para cada observable del sistema existe un operador que reproduce el valor de la propiedad si se aplica a la función de onda” 102

Observables Observable es toda propiedad del sistema que se pueda medir, por ejemplo: la energía, el momento, la energía cinética; etc. 103

Operadores Transformaciones Si A números y B números: Función. Regla de asociación entre A y B Si A números y B números: Función. Si A funciones y B números: Funcional. Si A funciones y B funciones: Operador. A B 104

Operadores: Ejemplos 105

Operadores: Ejemplos 106

Operadores: Ejemplos Extráigase la raíz cuadrada de la función f(x). 107

Operadores: Ejemplos 108

Operadores: Ejemplos 109

Operadores: Ejemplos Derívese la función f(x) con respecto a la variable x. 110

Operadores: Ejemplos 111

Operadores: Ejemplos 112

Operadores: Ejemplos Intégrese la función f(x) con respecto a la variable x. 113

Por cierto 114

Operadores: Ejemplos 115

Operadores: Ejemplos 116

Operadores: Ejemplos Multiplíquese la función f(x) por la variable x. 117

Operadores: Ejemplos 118

Operadores: Ejemplos 119

Operadores: Ejemplos Multiplíquese la función f(x) por la constante c. 120

Operadores (3) El operador es una orden o una receta a seguir. Esta orden se aplica a las funciones y lo que se obtiene es una nueva función. 121

Operadores (4) A los operadores se les pone sombrero. Si queremos saber el valor de la propiedad A ÂΨ=aΨ Ecuación de valores propios o eigenvalores: Â es un operador, Ψ es una función y a es un número. 122

¿Cómo se contruyen los operadores en mecánica cuántica? Se escribe la expresión clásica para el observable de interés en términos de coordenadas, momentos y tiempo. Las coordenadas y el tiempo se dejan igual. 123

¿Cómo construir los operadores? (2) Para coordenadas cartesianas las componentes del momento (pq) se reemplazan por el operador diferencial: 124

Ejemplo Energía cinética (T). Una partícula en coordenadas cartesianas. Expresión clásica: 125

Ejemplo (cont.) Poniendo p en términos de sus componentes: 126

Ejemplo (cont.) Substituyendo las componentes de acuerdo al paso (3), se obtiene el operador de energía cinética: 127

El Hamiltoniano El operador más importante en mecánica cuántica es el operador de energía total y se conoce como operador de Hamilton o Hamiltoniano: 128

El Hamiltoniano (2) El operador de energía potencial es un operador multiplicativo y solo depende de las coordenadas de la partícula: 129

Ecuación de Schrödinger Como el Hamiltoniano es distinto para cada sistema, existe una ecuación de Schrödinger diferente para cada sistema. 130

Ecuación de Schrödinger (2) La ecuación de Schrödinger es una ecuación de valores propios (eigenvalores) y debe resolverse para Ψ y para E. El problema de la “Química Cuántica” es resolver la ecuación de Schrödinger para sistemas de interés químico. 131