Matemáticas 2º Bach. Sociales INECUACIONES U.D. 4 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. Sociales

INECUACIONES POLINÓMICAS U.D. 4.2 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. Sociales

Inecuaciones Cuadráticas Una inecuación de segundo grado o inecuación cuadrática es la que tiene la forma: ax2 + bx + c ≤ 0 , ( o ≥ 0, o > 0, o < 0) Siendo a > 0 siempre. Para resolverlas se hallan las dos raíces, tomada la expresión como una ecuación, x1 y x2 . Luego se factoriza el polinomio característico: (x - x1).( x - x2 ) ≤ 0 ó (x - x1).( x - x2 ) ≥ 0 Y por último se halla el signo de cada factor en cada uno de los siguientes intervalos: (-oo, x1), ( x1 , x2 ) y ( x2, +oo) La solución será un intervalo abierto o cerrado si las raíces halladas, x1 y x2 , pertenecen o no a la solución del sistema. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. Sociales

Matemáticas 2º Bach. Sociales Ejemplos resueltos Resuelve la inecuación: x2 - 5x + 6 ≤ 0 Se hallan las dos raíces: x1 = 2 , x2 = 3 Se factoriza el polinomio: (x - 2).( x - 3 ) ≤ 0 Se halla el signo de cada factor: 1 - oo 2 3 +oo ( x – 2 ) - + + - - + ( x – 3 ) Productos + - + En [ 2, 3 ] el producto es NEGATIVO ( < 0 ), luego Solución: x = [ 2, 3 ] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. Sociales

Matemáticas 2º Bach. Sociales Resuelve la inecuación: x2 + 3x - 10 > 0 Se hallan las dos raíces: x1 = 2 , x2 = - 5 Se factoriza el polinomio: (x - 2).( x + 5 ) > 0 Se halla el signo de cada factor: - oo - 5 2 +oo ( x – 2 ) - - + - + + ( x + 5 ) Productos + - + En (-oo.-5) y en ( 2, +oo) el producto es POSITIVO ( > 0 ), luego Solución: x = ( -oo, -5 ) U ( 2, +oo ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. Sociales

Matemáticas 2º Bach. Sociales 3 Resuelve la inecuación: x2 + 2x + 1 < 0 Se hallan las dos raíces: x1 = -1 , x2 = - 1 Se factoriza el polinomio: (x + 1 ).( x + 1 ) < 0 Se halla el signo de cada factor: - oo - 1 +oo ( x +1 ) - + - + ( x + 1 ) Productos + + No hay ningún intervalo cuyo producto sea NEGATIVO, luego … Solución: x = Ø @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. Sociales

Matemáticas 2º Bach. Sociales INECUACIÓN CÚBICA El proceso es el mismo que en las cuadráticas. Resuelve la inecuación: x3 – 5x2 - x + 5 < 0 Se hallan las TRES raíces por Ruffini: x1 = 1 , x2 = - 1 , x3 = 5 Se factoriza el polinomio: (x + 1 ).( x - 1 ).( x – 5) < 0 Se halla el signo de cada factor: 4 - oo - 1 1 5 +oo ( x +1 ) - + + + - - + + ( x - 1 ) - - - + ( x – 5 ) Productos - + - + Solución: x = ( - oo, - 1 ) U ( 1, 5 ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. Sociales

Matemáticas 2º Bach. Sociales INECUACIÓN POLINÓMICA (Grado ≥ 4) El proceso es el mismo que en las cuadráticas. Resuelve la inecuación: x4 – 1 < 0 Se hallan las CUATRO raíces por Ruffini: x4 – 1 = (x2 + 1).(x2 – 1) = (x + 1).(x – 1).(x2 + 1) x1 = 1 , x2 = - 1 , x3 & x4 = x2 + 1, NO REALES. Se factoriza el polinomio: (x + 1 ).( x – 1).(x2 + 1) < 0 Se halla el signo de cada factor: 5 - oo - 1 1 +oo ( x + 1 ) - + + - - + ( x – 1) + + + ( x2 + 1) Productos + -- + Solución: x = (– 1 , 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. Sociales

Matemáticas 2º Bach. Sociales Soluciones gráficas 1.- x2 - 5x + 6 ≤ 0  (x - 2).( x - 3 ) ≤ 0 2.- x2 + 3x - 10 > 0  (x - 2).( x + 5 ) > 0 3.- x2 + 2x + 1 < 0  (x + 1 ).( x + 1 ) < 0 1 3 2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 0 1 2 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. Sociales

Matemáticas 2º Bach. Sociales Soluciones gráficas 4.- x3 – 5x2 - x + 5 < 0  (x + 1 ).( x - 1 ).( x – 5) < 0 5.- x4 – 1 < 0  (x + 1 ).( x – 1).(x2 + 1) < 0 4 5 - 1 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. Sociales