U.D. 8 * 2º ESO GEOMETRÍA PLANA π @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

U.D. 8.7 * 2º ESO FIGURAS CIRCULARES π @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO CIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIA La longitud de una circunferencia es la medida de su entorno y es igual a 2 por π y multiplicado por el radio. L = 2.π.R Siendo π = 3,14 o 3,1416. Ejemplo 1 Hallar la longitud de una circunferencia de 5 cm de radio. L = 2.3,14.5 = 31,40 cm Ejemplo 2 Hallar el radio de una circunferencia cuya longitud mide 74. L = 2.π.R  L / 2.π = R R = 74 / 2.3,14 = 74 / 6,28 = 11,78 cm R @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

ARCO DE CIRCUNFERENCIA La longitud de un arco se obtiene dividiendo la longitud de una circunferencia entre 360º y multiplicando por el número de grados del arco, nº. 2.π.R LArco = --------- . nº 360º Ejemplo 1 Hallar la longitud de un arco de circunferencia de 7 dm de radio y 30º de amplitud. LArco = 2.π.R,nº/360º LArco = 2.3,14.7.30º / 360º = 3,66 dm Ejemplo 2 Hallar el radio de una circunferencia tal que un ángulo de 45º de amplitud tenga un arco de 4 m de longitud. 4 = 2.3,14.R.45º / 360º  R = 4.360º / 2.3,14.45º = 5,10 dm R nº @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ángulo central ÁNGULO CENTRAL El ángulo central de una circunferencia es el que tiene el vértice en el centro. En la figura grande el ángulo central, α, es de 60º. El arco correspondiente AB es también de 60º , aunque en longitud mide 5 cm. En la figura pequeña el ángulo central, α, es de 60º. El arco correspondiente AB es también de 60º , pero en longitud mide 2 cm. Dos arcos pueden tener la misma medida angular (en º sexagesimales), pero distintas longitudes ( en metros). A α B A α B @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ángulo inscrito ÁNGULO INSCRITO Un ángulo inscrito en una circunferencia es el que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes. La medida de un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central correspondiente. En la figura, el ángulo inscrito ABD vale 30º, pues el ángulo central correspondiente AOD vale 60º. Lo mismo vale el ángulo inscrito ACD, o sea 30º, al tener el mismo ángulo central. En una circunferencia pues hay infinitos ángulos inscritos que tienen el mismo valor. A B O D C @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Ángulo inscrito en una semicircunferencia El ángulo CAB abarca un arco de 180º (parte de abajo, invisible, de la circunferencia). Por lo tanto, al ser el ángulo inscrito la mitad, resulta ser de 90º siempre. A A’ 90º O B C 180º @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO CÍRCULO CÍRCULO El perímetro de un círculo es la longitud de la circunferencia correspondiente. P = 2.π.R El área del círculo es la medida de la superficie que hay dentro de la circunferencia y es igual a π multiplicado por el radio al cuadrado A = π.r2 Ejemplo_1 Hallar el área de un círculo de 8 cm de radio. A= 3,14.82 = 3,14.64 = 201,06 cm2 R @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo_2 Hallar el área de un círculo de 40 cm de diámetro. A = π.r2 El diámetro es el doble del radio, luego: R = d/2 = 40 / 2 = 20 cm. A= 3,14.202 = 3,14.400 = 1256 cm2 Ejemplo_3 Hallar el radio de un círculo de 314 cm2 de área. 314 = 3,14.R2  314 / 3,14 = R2  R2 = 100  R = √100 = 10 cm Ejemplo_4 Hallar el diámetro de un círculo de 1256 m2 de área. 1256 = 3,14.R2  1256 / 3,14 = R2  R2 = 400  R = √400 = 20 cm Diámetro: d = 2.R = 2.20 = 40 m @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO CORONA CIRCULAR CORONA CIRCULAR Sea R el radio del círculo mayor. Sea r el radio del círculo menor. PERÍMETRO: Es la suma del perímetro exterior y el perímetro interior. P = 2.π.R + 2.π.r = 2.π.(R+r) ÁREA: El área, como se aprecia en el dibujo, será la diferencia de las áreas entre el círculo mayor y el menor. A = π.R2 - π.r2 = π.( R2 - r2 ) r R P = 2.π.(R+r) A = π.( R2 - r2 ) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo_1 Hallar el perímetro y el área de una corona circular cuyos radios miden 3 y 7 cm. Perímetro: P= 2. π.(R+r) = 2.3,14.(3+7) = 62,80 cm Área: A = π.R2 - π.r2 = π.( R2 – r2 ) = 3,14.(49 – 9) = 125’60 cm2 Ejemplo_2 Hallar el radio mayor y el área de una corona circular que tiene un perímetro de 628 cm y un radio menor de 4 cm. Perímetro: P= 2. π.(R + r) 628 = 2.3,14.(R + 4)  628 / 2.3,14 = R + 4  628 / 6,28 = R + 4  100 = R + 4  R = 100 – 4 = 96 cm Área: A = π.R2 - π.r2 = π.( R2 – r2 ); A = 3,14.(9216 – 16); A = 3,14.9200 = 28 888 cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO SECTOR CIRCULAR SECTOR CIRCULAR Es la figura plana generada por la rotación del radio de un círculo. Siendo nº el número de grados o amplitud. LONGITUD DEL ARCO: l = 2.π.r.nº / 360º Si el giro es de 360º, la longitud del arco es la longitud de la circunferencia. PERÍMETRO: P = l+2.r = (2.π.r.nº / 360º ) + 2.r ÁREA: El área de un sector circular es la superficie existente entre el arco y los dos radios. A = π.r2 .nº / 360º r r n A r l B @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejercicio_1 El radio de un círculo de 4 cm de longitud gira 90º. Hallar el perímetro y el área del sector circular que produce. Perímetro: P = l + 2.R = (2.π.R.nº / 360º) + 2.R P = (2.π.4.90º / 360º) + 2.4  P = 2.π + 8 cm ÁREA: A = π.r2 .nº / 360º = π.42 .90º / 360º = 4.π cm2 Ejercicio_2 El radio de un círculo de 6 cm de longitud gira 60º. Hallar el perímetro y el área del sector circular que produce. P = (2.π.6.60º / 360º) + 2.6  P = 2.π + 8 cm A = π.r2 .nº / 360º = π.62 .60º / 360º = 6.π cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO