LA DANZA MÁGICA DE Φ Una Mirada Matemática sobre las Formas Y EL CRECIMIENTO HOMOTÉTICO Una Mirada Matemática sobre las Formas

El triángulo es el único polígono que viene determinado por sus lados. En Progresión Geométrica… El triángulo es el único polígono que viene determinado por sus lados. Es decir, dados tres segmentos -tales que la suma de dos cualesquiera sea superior al otro- existe un único triángulo que los tiene por lados. Nos preguntamos, ahora, cuántas formas triángulares existen que tengan sus lados en progresión geométrica. Como no nos importa el tamaño, reducimos en una las variables y tomamos un lado de longitud unidad. Además, basta considerar el caso en que la progresión sea creciente, pues estos dos triángulos son semejantes, por tener sus lados proporcionales: r r-1 1 r-2 r2 1

… con unos LÍMITES. r2 ≤ r +1  r2 – r – 1 ≤ 0  Evidentemente, la condición de que la suma de dos cualesquiera de los lados sea superior al otro pone límites a los valores que puede tomar la razón r (r ≥ 1) de la progresión geométrica en cuestión. r2 ≤ r +1  r2 – r – 1 ≤ 0  Como hemos dicho, dada una razón r ≥ 1, que cumple esa condición, r-1 ≤ 1, conduce a la misma solución, sólo que en este caso los lados están en progresión geométrica decreciente. En este caso el límite inferior sería:

Triángulos ‘geométricos’… Es decir, EXISTEN INFINITAS FORMAS TRIANGULARES QUE TIENEN SUS LADOS EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. Cada uno de ellas caracterizada por la razón de la progresión geométrica creciente en que tiene sus lados. Pero los valores que puede tomar esta razón tiene unos límites, los límites que marca el siguiente intervalo semicerrado: O bien, Donde φ=0,618033… y Φ= 1,618033..

EQUILÁTERA RECTÁNGULAR … y muy ‘especiales’. Veamos dos FORMAS particulares. EQUILÁTERA RECTÁNGULAR 1 1 Φ 1 1 r = 1 r =

La Sección Áurea… En el límite, los lados ‘colapsan’ formando un segmento de línea recta, y en vez de un triángulo tenemos LA SECCIÓN DE UN SEGMENTO en PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. Así: r2 r 1 O bien, r2 = r +1  r = .5 +.5 * 5^.5 = Φ Se trata de una SECCIÓN en ‘media y extrema razón’: El total es a la parte mayor, como la mayor a la pequeña

… y su Danza Mágica. Φ 1 Y, hora, un poquito de presión … produce una ROTACIÓN MÁGICA del segmento mayor alrededor del menor. Se trata de una DANZA muy especial, de la que estudiaremos cuatro pasos. Φ 1

Primer paso: 90º (la rectitud) Φ 90º Φ 1

El Rectángulo Áureo El Número de su Forma Φ 1 Mod = = Φ largura anchura 1

El Crecimiento Homotético… Si tenemos una figura geométrica (el germen), llamaremos GNOMON de esa forma a toda otra que por yustaposición con la primera produzca otra figura semejante a la inicial. Por ejemplo, el la figura adjunta se muestra el gnomon del cuadrado (lo que justifica su nombre) El GNOMON (que tiene raiz de conocimiento) era el instrumento astronómino, compuesto de un estilo vertical y un círculo horizontal, con el cual se determinaban el acimut y altura del Sol (antiguo reloj de sol babilonio). Con el tiempo, pasó a llamarse gnomon sólo a la varilla o estilo que produce la sombra en los relojes de sol y a la escuadra de los carpinteros (que eran piezas similares)

… del Rectángulo Áureo Nos preguntamos ahora qué forma produce el crecimiento homotético del rectángulo áureo. De la figura Se desprende que se trata de un CUADRADO. Φ  1

El Germen o la Semilla… Y ya que: Φ2 = Φ + 1 Tenemos que: Φ2 Φ + 1 Φ Φ Φ2 Φ + 1 Φ Φ Φ 1 Φ = = Φ 1

… y el GNOMON Φ Φ 1

El Juego de la Homotecia… Φ Φ 1

…recreando Germen y Gnomon Φ Φ 1

En un Espectáculo Mágico… Φ Φ 1

…que no tiene principio ni final. Φ Φ 1

Es el Juego de la Homotecia… Φ Φ 1

En la ESPIRAL DE ALBERTO DURERO …aspirando a ser CONTINUA. En la ESPIRAL DE ALBERTO DURERO

= Φ ¿GEOMÉTRICA y ‘aritmética’…? ¿Existe alguna Progresión Geométrica que sea Aritmética? Sea 1, r, r2, r3, r4, r5, r6, r7…. (razón r) Exijamos que también sea Progresión Aritmética. Es decir, r-1 = r2-r (razón d)  r = 1 (d=0)  CONSTANTE ¿Existe alguna Progresión Geométrica que participe de la ‘Esencia Aritmética’? Exijamos, por lo menos, que sea ‘Sumativa de Dos Tiempos’. Es decir, 1+r = r2, que hará ‘hereditario’ que cada término sea suma de los dos anteriores. Un poco de álgebra nos conduce a = Φ

una progresión sumativa de dos tiempos (Tipo Fibonacci) SÓLO UNA, que se realiza… Todas la Progresiones Sumativas de dos tiempos ‘convergen’ hacia una geométrica de razón Φ Sea 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…. una progresión sumativa de dos tiempos (Tipo Fibonacci) Puen bien, ‘termina’ convirtiéndose siempre en una aproximación muy buena de una sucesión geometrica de razón Φ. En efecto, an/an-1  Φ … de forma NATURAL bajo condiciones muy generales.

Dicho de OTRA FORMA… Este ‘Rectángulo Fibonacci’ CONVERGE RÁPIDAMENTE A éste otro: EL RECTÁGULO ÁUREO

Esta ‘Espiral Fibonacci’ … o de OTRA MÁS. Esta ‘Espiral Fibonacci’ CONVERGE RÁPIDAMENTE A ésta otra: LA ESPIRAL DE DURERO. Que difiere muy poco de la ESPIRAL ÁUREA (en verde), quien sí realiza el ideal de LA HOMOTECIA CONTINUA

El baile prosigue armonioso… mediatriz Φ Φ 108º 1 1 …con un segundo paso: 108º

Y su PROPIEDAD CARACTERÍSTICA: los ángulos están en proporción hasta el Triángulo Isósceles Sublime Φ Mod = = Φ El Número de su Forma α lado igual lado desig Y su PROPIEDAD CARACTERÍSTICA: los ángulos están en proporción 1:2:2 2α 2α 1

Con su crecimiento homotético Nos preguntamos ahora qué forma produce el crecimiento homotético de este Triangulo Isósceles Sublime. De la figura Se desprende Que se trata de otro TRIÁNGULO ISÓSCELES. Φ α α 2α 2α 3α α α α 2α 2α 1

Germen y Gnomon… α α α 2α 2α 3α α α α 3α 2α 2α Φ 1

… vuelven a recrear la Spira Miriabilis ¡…o casi!, tarareando…

‘MUTANTE Y PERMANENTE VUELVO A RESURGIR SIENDO LA MISMA’ …“Eadem Mutata Resurgo” ‘MUTANTE Y PERMANENTE VUELVO A RESURGIR SIENDO LA MISMA’

La AUTOSEMEJANZA… 1/Φ2 1/Φ 1 1 x 1/Φ2 1/Φ 1/Φ2 x 1/Φ 1/Φ 1/Φ 1 1 Serie geométrica de triángulos semejantes (todos sublimes)

…y la IRRACIONALIDAD. 1/Φ 1/Φ 1 1 1/Φ3 1/Φ2 1/Φ2 1/Φ 1/Φ 1 1 1 = 1/Ф2 + 1/Ф3 + 1/Ф4 + 1/Ф5 + 1/Ф6 + …

Yendo otro poquito más allá… Φ Φ ¿…? 1 1 …con el Tercer Paso: ¿…?

Hasta el Triángulo Rectángulo Áureo ó Triángulo de Kepler Φ El Único Triángulo Rectángulo que tiene sus lados en Progresión Geométrica 1

… y el TEOREMA DE LA ALTURA, construimos , y… Con Regla y Compás… … y el TEOREMA DE LA ALTURA, construimos , y… Φ 1

Otro Triángulo Rectángulo SEMEJANTE … descubrimos su GNOMON Otro Triángulo Rectángulo SEMEJANTE Φ Φ 1 Φ

Un crecimiento homotético mágico 1/ 1 Φ Φ 1/Φ Φ 1 Φ2 (1 + Φ)2 = Φ4 = Φ2 + Φ3 = Φ2 (1 + Φ)

… que desvela la IRRACIONALIDAD 1/ 1 1 1/Ф2 1/Ф3 Φ 1/Φ

La Gran Pirámide de Guiza… Herodoto relata que los sacerdotes egipcios le habían enseñado que las proporciones establecidas en la Gran Pirámide eran tales que: El cuadrado de la altura de la pirámide es igual al área de cada una de las caras triangulares. Es decir: ( 1 ) Por el teorema de Pitágoras en el triángulo POM: Sustituyendo por su valor en ( 1 ) y dividiendo por se tiene: Tenemos la ecuación del numero Áureo:

… y su Trazado Director 39

Otro pasito ‘palante’… Φ Φ 1 144º 1 1 … y la Cuarta Posición: 144º

Y su PROPIEDAD CARACTERÍSTICA: los ángulos están en proporción Hasta el Triángulo Sublime Mayor El Número de su Forma Mod = = Φ-1 = φ lado igual lado desig Φ 1 α 3α Y su PROPIEDAD CARACTERÍSTICA: los ángulos están en proporción 1:1:3 1

El Triángulo Sublime Menor Su GNOMON: un viejo conocido. El Triángulo Sublime Menor Φ α 2α Φ α 3α 2α α 1 Φ

¡La Clave está en el 5! .5 +.5 * 5^.5 = Φ 1

Uno, Dos Triángulos Mayores… 3α α α Φ α α 3α 1

… y otro Triángulo Sublime Menor 3α α α α 2α α 2α 3α α 1

La Pentalfa, Pentáculo o Pentagrama Φ 1/Φ2 1/Φ 1

Las Copas Sagradas α α 2α 2α α α 3α 3α xΦ 3α α α

LA DANZA DE MÁGICA DE Φ… GIRO de 108º y EXPANSIÓN Φ Φ4 Φ3 Φ2 Φ 1 1/Φ 1/Φ2 Φ4 Φ3 GIRO de 108º y EXPANSIÓN Φ

…nos desvela su SECRETO GIRO de 180º y CONTRACCIÓN Φ Quede esto así, escenificado para ti.