Algunas distribuciones de Probabilidad discreta DIEGO ALEJANDRO MEJIA GUERREROO 2124055 LINA POLA BECERR CALA 2123119 HELENA MARGARITA JARMILLO 2123114 ESTEBAN ALEAN PUENTES BRANDON ALFONSO

Algunas distribuciones de probabilidad discreta Distribución de Poisson Distribución hipergeometrica

INTRODUCCIÓN VARIABLE DISCRETA VARIABLE CONTINUA X: Puede tomar solo determinados valores Puede tomar cualquier valor en la recta numérica Ejm: 1,2,3,4,5,6

Distribuciones de probabilidad discreta DEFINICIÓN La distribución de probabilidad discreta describe el comportamiento de una variable aleatoria, independientemente de si se representa de forma grafica o mediante un histograma, en forma tabular o con una formula. http://neetescuela.com/distribuciones-de-probabilidad-conjunta-en-variables-aleatorias-discreta/

Distribuciones de probabilidad discreta Lista de los resultados de un experimento con las probabilidades que se esperan, se asociaran a esos resultados. Si X es una variable discreta, la función dada por f(X) para cada X contenida en el intervalo de X se denomina función de probabilidad, distribución de probabilidad , de X Características •A cada valor de la variable aleatoria X le hacemos corresponder una probabilidad esperada teórica P.   •  Se representa gráficamente mediante un diagrama de barras. •  La suma de todas las probabilidades esperadas es uno. f( x) ≥ 0 para cada valor contenido en su dominio.

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD EJEMPLO Experimento: Tirar un dado P(X) 1 2 3 4 5 6 1/6 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD X P(X) GRAFICAMOS 1 1/6 2 3 4 5 6 X

(𝑝+Ṗ) (𝑝+Ṗ)(𝑝+Ṗ)(𝑝+Ṗ)=1 Experimento: Arrojar un dado cuatro veces X: Cuantas veces en esos cuatro lanzamientos voy a obtener un 1 Suceso independiente , no se ve afectado cuantas veces lance el dado X P(X) Éxito P= 1/6 Fracaso Ṗ= 5/6 0,4822 1 0,3858 2 0,1157 (𝑝+Ṗ) (𝑝+Ṗ)(𝑝+Ṗ)(𝑝+Ṗ)=1 3 0,01543 4 0,00077 𝑝 4 +4 𝑝 3 Ṗ+6 𝑝 2 Ṗ 2 +4𝑝 Ṗ 3 + Ṗ 4 =1 ( 1 6 ) 4 +4 ( 1 6 ) 3 ( 5 6 )+6 ( 1 6 ) 2 ( 5 6 ) 2 +4( 1 6 ) ( 5 6 ) 3 + ( 5 6 ) 4 =1 4 3 2 1

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD P(X) 1 2 3 4 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD 0,5 X

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

DEFINICION • la distribución HIPERGEOMÉTRICA es una de las distribuciones de probabilidad discreta. • Se utiliza para calcular la probabilidad de una selección aleatoria de un objeto sin repetición.

La distribución hipergeométrica sigue el siguiente modelo: Donde:

Variables • N = Tamaño de población. • n = Tamaño de muestra. • k = Todos o cantidad de elementos que cumple característica deseada. • X = Cantidad de éxitos.

Ejemplo Veamos un ejemplo: en una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas ¿Cuál es la probabilidad de que 3 sean blancas? Entonces: N = 12; N1 = 7; N2 = 5; k = 3; n = 4

Aplicación del modelo Por lo tanto, P (x = 3) = 0,3535. Es decir, la probabilidad de sacar 3 bolas blancas es del 35,3%.

RECOMENDACIÓN: • La distribución HIPERGEOMÉTRICA es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se realizan experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial.

CONCLUSIÓN: El número de repeticiones del experimento (n) es constante.  Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.

DISTRIBUCION BINOMIAL

La distribución de probabilidades de una V. A La distribución de probabilidades de una V.A.D que puede tomar valores enteros. Se representa que X sigue una distribución binomial X~Bi(n,p) P+q=1 q=1-p Su función de probabilidad: 𝑃 𝐾 = 𝑋=𝐾 = 𝑁 𝐾 𝑃 𝐾 𝑄 𝑁−𝐾

EJERCICIO Tenemos una variable aleatoria llamada x que puede tomar los siguientes valores: X={0,1,2,3} esta variable x sigue una distribución: X~Bi (10,0.1) Calcular: Cuanto vale la probabilidad de que cada variable aleatoria sea mayor que 1 Que sea mayor o igual que 3 Sea menor que 3 Menor o igual que 3 Mayor que 1 y menor o igual que 3 Que sea mayor o igual que 1 y menor o igual que e

Solución X~Bi (10,0.1) n=10 p=0.1 q=1-p = 0.9 𝑃 𝐾 = 𝑋=𝐾 = 𝑁 𝐾 𝑃 𝐾 𝑄 𝑁−𝐾 𝑃 𝐾 = 𝑋=0 = 10 0 0.1 0 0.9 10 = 0.3486 𝑃 𝐾 = 𝑋=1 = 10 1 0.1 1 0.9 9 =0.3874 𝑃 𝐾 = 𝑋=2 = 10 2 0.1 2 0.9 8 =0.1937 𝑃 𝐾 = 𝑋=3 = 10 3 0.1 3 0.9 7 =0.0573

P[X>1]=P[X=2]+P[X=3]= 0.1937+0.0573=0.25 Otra forma: P[X>1]=1 - P[X≤1] P[X>1]=1 – (P[X=0]+P[X=1])= 1-( 0,3486+0,3874)=0.26 P[X≥3]=P[X=3]=0,0573 P[X<3]=P[X=2]+P[X=1] +P[X=0] P[X≤3]=1-P[X≥3]= 1-0.0573=0,9427 P[1<X≤3]=P[X=2]+P[X=3]= 0.1937+0.0573=0.25 P[1≤X≤3]=0,25+P[X=1]= 0.25+0.3874=0.6374

Distribución binomial Media y varianza Distribución binomial

ESPERANZA MATEMÁTICA O MEDIA E[x]=µ=np VARIANZA MATEMATICA V[X]=npq=E[X]q DESVIACION TIPICA σ= +√𝑉[𝑋]

Ejercicio En una clase con 20 alumnos el profesor decide preguntar sobre la distribución binomial. La probabilidad de que el alumno responda correctamente es 0,3. Se pregunta: Modela el problema Probabilidad de que preguntados los alumnos, menos 3, respondan correctamente. Probabilidad de que preguntados los alumnos, respondan correctamente, entre 5 y 9 ambos inclusive. Valor esperado de alumnos que responde correctamente al preguntarles el profesor. Varianza y desviación típica de la distribución tomada

Modela el problema n=20 p=0.3 q=1-p=0.7 X~Bi (n,p) X~Bi (20,0.3) 2. Probabilidad de que preguntados los alumnos, menos 3, respondan correctamente. P[X<3]=P[X=0]+P[X=1]+P[X=2]= 𝑃 𝐾 = 𝑋=𝐾 = 𝑁 𝐾 𝑃 𝐾 𝑄 𝑁−𝐾 = 0.0008+0.0068+0.0278= 0.0355

3. Probabilidad de que preguntados los alumnos, respondan correctamente, entre 5 y 9 ambos inclusive. X~Bi (20,0.3) P[5≤X≤9]=P[X=5]+P[X=6]+P[X=7]+P[X=8]+P[X=9] 𝑃 𝐾 = 𝑋=𝐾 = 𝑁 𝐾 𝑃 𝐾 𝑄 𝑁−𝐾 =0.1789+0.1916+0.1643+0.1144+0.0654 = 0.7612~ 76.12% 4. Valor esperado de alumnos que responde correctamente al preguntarles el profesor. E[X]=np= 20*0.3=6

5. Varianza y desviación típica de la distribución tomada V[X]=npq=E[X]q= 6*0.7=4.2 σ= +√𝑉[𝑋]= 4.2 =2.04

Distribución de probabilidad de Poisson

Es una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta que nos proporciona la probabilidad de que ocurra un determinado suceso un numero de veces K en un intervalo determinado de tiempo, área, longitud… 𝑃 𝑥=𝐾 = 𝜇 𝑘 𝑒 −𝑢 𝑘! µ=numero medio de veces que ocurre nuestro suceso en el intervalo de tiempo, área, longitud.. Siendo e=2,71828

Ejercicio En un hospital de una importante ciudad se esta estudiando los nacimientos de bebes varones. Se sabe que en una semana nacen una media de siete varones. Calcular: Probabilidad de que nazcan 3 varones en una semana Probabilidad de que nazcan menos de 3 varones a la semana

Probabilidad de que nazcan 3 varones en una semana X= Nacimiento de bebe varón µ=7 varones a la semana 𝑃 𝑥=3 = 𝑒 −7 7 3 3! =0.052≈5.2% 2. Probabilidad de que nazcan menos de 3 varones a la semana P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.029≈2.9 P(X=0)= 𝑒 −7 7 0 0! = 0.001 P(X=1)= 𝑒 −7 7 1 1! = 0.006 P(X=2)= 𝑒 −7 7 2 2! =0.022

Gracias