SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS

Situación 1: introducción 2 Situación 2 : Resolución gráfica 3 Ejercicios para resolver gráficamente 4 Clasificación de sistemas 5 y 6 Ejercicios para clasificar sistemas 7 Métodos analíticos: 8 Sustitución 9 Igualación 10 Sumas y restas 11 Determinantes 12 Ejercicios para resolver analíticamente 13 Problemas de situaciones cotidianas 14 Problemas con aplicaciones geométricas 15 Problemas con lenguaje matemático 16

Situación 1 César y Yamila ahorraron $ 1000 Incógnitas Variable Conjunto al que pertenece Cantidad de dinero ahorrado por César x Cantidad de dinero ahorrado por Yamila  y Planteo de la situación en lenguaje simbólico Si Yamila hubiese ahorrado el doble, tendría $ 200 más que César Incógnitas Variable Conjunto al que pertenece Cantidad de dinero ahorrado por César x Cantidad de dinero ahorrado por Yamila y Planteo de la situación en lenguaje simbólico   Se entiende que nos interesa saber el par de cantidades de dinero que satisface a las dos ecuaciones: “la solución del SISTEMA DE ECUACIONES” inicio

Situación 2 inicio 3𝑥−𝑦=5 Si la diferencia entre el triple de un número y otro número es 5 y la suma de estos de números da 7.¿cuales son estos números? Las incognitas son : y los llamaremos : 3𝑥−𝑦=5 𝑥+𝑦=7 𝑥+𝑦=7 𝑑𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑦

Situación 3

Graficamos sistemas en Geo gebra inicio Graficamos sistemas en Geo gebra Confecciona tabla de valores , «TABULAR» Escribe y ubicas los pares ordenados Indica las coordenadas de la solución Determinar los pares ordenados de corte con los eje

Clasificación de sistemas inicio Clasificación de sistemas 𝑦=6 −2𝑥 𝑦+2𝑥=6 𝑦+2=2𝑥 𝑦=2𝑥−2 Tiene solución unida: SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO 𝑦= 6−2𝑥 :2 2𝑦+2𝑥=6 𝑦 +𝑥= 3 𝑦=3 −𝑥 Tiene infinitas solución : SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO 𝑥+𝑦=3 𝑥+𝑦=−1 𝑦=3 −𝑥 𝑦=−𝑥−1 No tiene solución unida: SISTEMA INCOMPATIBLE

inicio

Ejercicios para clasificar sistemas inicio

Solución por métodos analítico Sustitución Igualación Sumas y restas Determinantes Operando inicio

Método por igualación Dada el siguiente sistema: Luego operamos   Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la segunda). Operamos para hallar el valor de y: y=2 Si queremos estar seguros podemos Verificar, en ambas ecuaciones, para saber si realmente (x ; y) = (4;2)es solución del sistema Dada el siguiente sistema: Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un sistema equivalente (en este caso elegimos y): igualamos : inicio

Método por sustitución Tenemos que resolver el sistema: Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y en la primera ecuación): 3𝑥+𝑦=−1→ 𝑦=−1−3𝑥 Y la sustituir en la otra ecuación: 2𝑥−𝑦=2 2𝑥− =2 Operamos para despejar la única variable existente ahora: 2𝑥+1+3𝑥=2 5𝑥=1 𝑥= 1 5  Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente la primera): 3𝑥+𝑦=−1→ 3. 1 5 +𝑦=−1 𝑦=−1− 3 5 𝑦=− 8 5  Redactamos la respuesta 𝑠𝑜𝑙= 1 5 ;− 8 5 inicio

Métodos de sumas y restas inicio ENUNCIADO VERIFICACIÓN Si el par (p;q) satisface a la ecuación ax + by = c también satisface a la ecuación: nax +nby = nc donde todos los coeficientes aparecen multiplicados por un mismo número, cuya única condición es que sea distinto de cero.  que ax + by = c es _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ a nax +nby = nc (3;4) satisface la ecuación 3x – y =5 porque ........................................................... si multiplicamos esta ecuación por un número n = ....... nos queda ............................................................ y el par (3;4) satisface ya que: ........................................................... Si el par (p;q) satisface la dos ecuaciones lineales a1x + b1y = c1  a2x + b2y = c2  satisface a la ecuación que resulta de sumar o restar miembro a miembro ambas ecuaciones (1;-2) satisface y ..........................  .......................... Si a un sistema de ecuaciones lineales , se puede multiplicar por un número a una de las ecuaciones o a las dos y luego sumarla o restarla que los valores de las variable del par solución van a satisfacer dicha ecuación (1;-2) satisface   mult. por 2 y a la 1° restarle se le suma la 2° la 2° mult. Por- 3 x = ......  y = ......

Método por Determinantes Resolvamos el sistema: 4𝑥+3𝑦=22 2𝑥+5𝑦=18 Sol ={(4, 2)} Determinante se trata de un cuadrado de números: Este se calcula de la siguiente manera: Sea el sistema: 𝑎 1 𝑥+ 𝑏 1 𝑦= 𝑐 1 𝑎 2 𝑥+ 𝑏 2 𝑦= 𝑐 2 El valor de x está dado por:   e inicio

inicio Ejercicios

Problemas con situaciones cotidianas La diferencia de edades de mi abuelo y mi padre es 25 y si sumo las 141 ¿Qué edad tienen el abuelo y el padre? O lamparit En una casa de iluminación tienen lámparas de dos y cuatro lamparitas. Si hay 30 lámparas y 100 lamparita. ¿Cuantas lámparas de cada tipo hay? inicio

Problemas con aplicaciones geométricas Para los problemas donde se hace referencia a figuras geométricas, siempre es conveniente hacer una figura de análisis y colocarle los datos. Calcular el valor de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo sabiendo que el doble de uno de ellos supera en 10° al otro. Un ángulo de un triángulo se de 50° y la diferencia entre los otros dos es de 10°, ¿cuál es la amplitud de cada ángulo? En un trapecio la base mayor es el doble de la menor. Si la altura mide 3cm y la superficie es de 9cm2 ¿Cuánto mide cada base? Cuanto miden los lados de un triángulo isósceles se el perímetro mide 15cm y la base es la mitad de los lados iguales? Hallar las longitudes de los lados de un paralelogramo si el perímetro es de 56cm y uno le los lados es superior al otro en 4 cm El perímetro de un romboide es de 24cm y la diferencia entre los lados es de 2cm. Calcular las medidas de cada uno.

Problemas con lenguaje simbólico 1) Une con fechas las expresiones dadas en lenguaje coloquial con la que le corresponde La suma de dos números reales es 3 I  ½ x – 3y = 3 El doble de la diferencia entre dos números es 3 II  x + y = 3 Dos números son tales que si al 1° le agrego el doble del segundo me da 3 2(x – y) = 3 Si a la mitad de un número le resto el triple de otro obtengo 3 IV  x + 2y = 3 2) Redacta el enunciado a los siguientes sistemas y resuélvelos: