POLINOMIOS U. D. 5 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

RESTO, FACTOR Y RAÍZ DE UN POLINOMIO U. D. 5.6 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TEOREMAS TEOREMA DEL RESTO El resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x ‑ a) , es el valor del polinomio al sustituir la variable x por el valor de a. Si el binomio es de la forma (x + a) , sustituiremos la x por ‑ a. TEOREMA DEL FACTOR Si el resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x ‑ a) , es cero, el binomio (x – a) es un factor de P(x). P(x) = (x – a).Q(x) Además, si el resto es cero, la división es exacta y el valor de a se dice que es un cero o una raíz del polinomio. Si un polinomio es de grado n , tendrá como máximo n raíces reales. Si un polinomio es de grado impar tendrá obligatoriamente una raíz real. Si es de grado par tendrá 0, 2, 4 , … raíces reales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplos Teorema del Resto Ya hemos visto al hacer la división por Ruffini: ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x - 3 ), que el resto es 58 Veamos aplicando el Teorema del resto: P(a)=P(3)= 33 + 4.32 - 5 = 27 + 36 – 5 = 58 ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x + 5 ), que el resto es – 30 P(a)=P(-5)= (-5)3 + 4.(-5)2 - 5 = -125 + 100 – 5 = - 30 ( 4.x3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ), que el resto es – 45 P(a)=P(-2)= 4.(-2)3 + 5.(-2) - 3 = - 32 – 10 – 3 = - 45 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplos Teorema del Factor Sea P(x) = x3 + 2.x2 - 5.x - 6 Aplicando el Teorema del Resto: P(2) = 23 + 2.22 - 5.2 – 6 = 8 + 8 – 10 – 6 = 0  x = 2 es una raíz. P(x)=(x – 2).Q(x) Realizando la división: P(x) = (x – 2).(x2 + 4.x + 3) Sea P(x) = x3 + x2 + 4.x + 4 P(– 1) = (– 1)3 + (– 1)2 + 4.(– 1) + 4 = – 1 + 1 – 4 + 4 = 0  x = – 1 es una raíz. P(x)=(x – (– 1)).Q(x) = (x + 1).Q(x) P(x) = (x +1).(x2 + x – 6) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplos Teorema del Factor Sea P(x) = x3 – 3 x2 + 3.x – 1 Aplicando el Teorema del Resto: P(1) = 13 – 3. 12 + 3.1 – 1 = 1 – 3 + 3 – 1 = 0  x = 1 es una raíz P(x)=(x – 1).Q(x) Realizando la división: P(x) = (x – 1).(x2 – 2.x + 1) Sea P(x) = x4 – x2 – 12 P(2) = 24 – 22 – 12 = 16 – 4 – 12 = 0  x = 2 es una raíz P(– 2) = (– 2)4 – (–2)2 – 12 = 16 – 4 – 12 = 0  x = – 2 es otra raíz P(x)=(x – 2).(x + 2).Q(x) Realizando la división de forma escalonada al conocer dos raíces: P(x) = (x – 2).(x + 2).(x2 + 3) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

RAÍCES DE UN POLINOMIO RAÍCES o ceros de un polinomio son todos los valores de x que al ser sustituidos el valor numérico del polinomio es cero. Cumplen la ecuación: P(x)=0 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA Si un polinomio es de grado n , tendrá como máximo n raíces reales. Si un polinomio es de grado impar tendrá obligatoriamente una raíz real. Si es de grado par tendrá 0, 2, 4 , … raíces reales. RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO Las raíces enteras de un polinomio, si existen se encuentran entre los divisores del término independiente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Demostración Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente. Sea P(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d Donde a, b, c y d son números enteros. Se debe cumplir, si r es una raíz de P(x): a.r3 + b.r2 + c.r + d = 0 r.(a.r2 + b.r + c) = - d Vemos que r es un factor de – d O sea, que r es un divisor entero de d. Para hallar las raíces de un polinomio de grado igual o superior a 3, o sea las soluciones de la ecuación P(x)=0, lo primero será comprobar las posibles soluciones enteras o divisores enteros del término independiente. Si el polinomio P(x) no presenta término independiente, x=0 será una raíz o solución de la ecuación P(x) = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Tenemos que resolver la ecuación: x3 + 2.x2 – 5.x – 6 = 0 EJEMPLO_1 Sea P(x) = x3 + 2.x2 – 5.x – 6 Tenemos que resolver la ecuación: x3 + 2.x2 – 5.x – 6 = 0 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6} , o sea los divisores de 6. Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto: P(1) = 13 + 2.12 - 5.1 – 6 = 1 + 2 – 5 – 6 = - 8 <> 0  No es raíz x =1 P(-1) = (-1)3 + 2.(-1)2 - 5.(-1) – 6 = -1 + 2 + 5 – 6 = 0  x = -1 es una raíz. P(2) = 23 + 2.22 - 5.2 – 6 = 8 + 8 – 10 – 6 = 0  x = 2 es otra raíz. P(-2) = (-2)3 + 2.(-2)2 - 5.(-2) – 6 = - 8 + 8 + 10 – 6 = 4 <> 0  No es raíz x = - 2 P(3) = 33 + 2.32 - 5.3 – 6 = 27 + 18 – 15 – 6 = 24 <> 0  No es raíz x = 3 P(-3) = (-3)3 + 2.(-3)2 - 5.(-3) – 6 = - 27 + 18 + 15 – 6 = 0  x = -3 es otra raíz Las soluciones o raíces son: x = – 1 , x = 2 y x = – 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Tenemos que resolver la ecuación: x3 + x2 + 4.x + 4 = 0 EJEMPLO_2 Sea P(x) = x3 + x2 + 4.x + 4 Tenemos que resolver la ecuación: x3 + x2 + 4.x + 4 = 0 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1, 2, -2, 4, - 4} , o sea los divisores de 4. Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto: P(1) = 13 + 12 + 4.1 + 4 = 1 + 1 + 4 + 4 = 10 <> 0  No es raíz x = 1 P(-1) = (-1)3 + (-1)2 + 4.(-1) + 4 = -1 + 1 – 4 + 4 = 0  x = – 1 es una raíz. P(2) = 23 + 22 + 4.2 + 4 = 8 + 4 + 8 + 4 = 24 <> 0  No es raíz x = 2 P(-2) = (-2)3 + (-2)2 + 4.(-2) + 4 = - 8 + 4 – 8 + 4 = - 8 <> 0  No es raíz x = - 2 P(4) = 43 + 42 + 4.4 + 4 = 64 + 16 + 16 + 4 = 100 <> 0  No es raíz x = 4 P(-4) = (-4)3 + (-4)2 + 4.(-4) + 4 = – 64 + 16 – 16 + 4 = – 60 <>0  No es raíz x = - 4 La única raíz entera es x = – 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.