Construcción de curvas y superficies que pasan por puntos especificados

El problema siguiente se presenta en varias áreas de la ciencia El problema siguiente se presenta en varias áreas de la ciencia. Se tiene como datos un conjunto de puntos, (𝑋1, Y1), (X2,Y2),….. (Xn, Yn) Y se necesita encontrar un polinomio cuya grafica pase por esos puntos. Con frecuencia los puntos dados se han obtenido en un experimento mediante mediciones. A las coordenadas X se les llama puntos base. Se puede demostrar que si todos los puntos base son distintos, entonces hay un polinomio único de grado n-1 (o menor). 𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥 2 +… 𝑎𝑛−2𝑥 𝑛−2 +𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 Que se puede ajustar a los puntos dados.

Los coeficientes, a0,a1,a2,……an-2,an-1 Del polinomio buscando se puede encontrar sustituyendo los puntos en la ecuación polinomial y después resolver un sistema de ecuaciones lineales. Con el propósito de encontrar estos coeficientes se acostumbra escribir el polinomio en términos de potencias ascendentes de x. Entonces, las columnas de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones siguen un cierto patrón.

Ahora se ilustra el procedimiento ajustando un polinomio de segundo grado, una parábola del conjunto de tres puntos dado como datos. Ejemplo Encuentra la ecuación del polinomio de grado 2 cuya grafica pasa por los puntos (1,6), (2,3), (3,2).

Solución. Observe que en este ejemplo se dan tres puntos y se quiere encontrar un polinomio de grado dos (Uno menos que el numero de puntos dado como datos). Sea el polinomio buscado y= 𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥 2 Si dieron 3puntos y se usara esa información para determinar las 3 incógnitas a0,a1,a2 sustituyendo:

1 1 1 1 2 4 1 3 9 6 3 2 1 1 1 0 1 3 0 2 8 6 −3 −4 1 0 −2 0 1 3 0 0 2 9 −3 2 R2+(-1)R1 R1+(-1)R2 ( 1/2)R3 R3+(-1)R1 R3+(-1)R2 1 0 −2 0 1 3 0 0 1 9 −3 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 11 −6 1 R1+2R3 R2+(-3)R3

𝑥=1,𝑦=6;𝑥=2, 𝑦=3;𝑥=3, 𝑦=2 Respectivamente en el polinomio, obtenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con a0, a1 y a2. 𝑎0+ 𝑎1 𝑎2=6 𝑎0+ 2𝑎1 4𝑎2=3 𝑎0+ 3𝑎1 9𝑎2=2 Resolviendo el sistema para encontrar a2, a1 y a0, usando la eliminación de Gauss- Jordan:

Se obtiene a0= 11, a1=-6, a2=1 La parábola que pasa por los tres puntos es: y=11-6x+ 𝑥 2 Véase en la figura

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