Ecuaciones de segundo grado ¿Cómo resolverlas? Por Federico Zapata

Los pasos a seguir son los siguientes: Pasar todos los elementos a un lado. Identificar los coeficientes. Aplicar la fórmula. Cosas a tener en cuenta.

Pasar todos los elementos a un lado ¿Cómo hacerlo? ¿Cómo debe quedar la ecuación?

¿Cómo hacerlo? Los elementos pasan de un lado al otro de la igualdad cambiando su signo. A un lado de la igualdad debe quedar únicamente un cero. Ver ejemplo:

Como ejemplo resolvamos la siguiente ecuación: 4·x2 - 5·x + 1 = 3·x2 - 7·x + 4 Los elementos 3·x2, - 7·x y 4 pasan al otro lado cambiados de signo, es decir, - 3·x2, + 7·x y - 4 La ecuación quedará así:

4·x2 - 5·x + 1 - 3·x2 + 7·x + 4 = 0 Pasar a otro punto

¿Cómo debe quedar la ecuación? A continuación debemos realizar las sumas o restas pertinentes con el objetivo de dejar la ecuación en la forma: a·x2 + b·x + c = 0 donde a, b y c son números reales. Ver ejemplo:

En el ejemplo anterior 4·x2 - 5·x + 1 - 3·x2 + 7·x + 4 = 0 hemos de hacer las operaciones siguientes: 4·x2 - 3·x2 = x2 - 5·x + 7·x = 2·x 1 + 4 = 5 con lo que la ecuación quedaría: x2 + 2·x - 3 = 0 Pasar a otro punto:

Identificar los coeficientes Vamos a poner nombre a los coeficientes de las indeterminadas, llamando: a al coeficiente de x2 b al coeficiente de x c al término independiente En el ejemplo:

La ecuación estaba de la forma: x2 + 2·x - 3 = 0, por tanto: a = 1 b = 2 c = - 3 Puntos que hay que tener en cuenta

Observaciones  Hay que tener en cuenta el signo de los coeficientes.  Cuando el coeficiente no está escrito explícitamente, dicho coeficiente es 1 ó - 1, según el signo.  Si x o el término independiente no aparecen en la ecuación, sus coeficientes son cero. Pasar a otro punto

Aplicar la fórmula - b  b2 - 4·a·c 2·a La fórmula con la que se resuelven todas las ecuaciones de segundo grado es la siguiente: - b  b2 - 4·a·c 2·a En esta fórmula sustituimos a, b y c por sus valores correspondientes. Ver ejemplo

En nuestra ecuación x2 + 2·x - 3 = 0 teníamos a = 1, b = 2 y c = - 3, con lo que la fórmula quedaría: - 2  22 - 4·1·(-3) 2·1 Lo único que resta es hacer las operaciones

22 - 4·1·(-3) = 4 - (-12) = 4 + 12 = 16 16 = 4 Significado del signo ± Seguir con el ejemplo

Significado del signo ± En las ecuaciones de segundo grado vamos a tener dos soluciones, una la obtendremos usando el signo + y otra usando el signo -. Las soluciones se obtienen por separado. Volver

Una de las soluciones será: - 2 + 4 es decir, 2/2 = 1 2 La otra solución será: - 2 - 4 es decir, -6/2 = -3 2 Pasar a otro punto

Cosas a tener en cuenta  Las ecuaciones de segundo grado pueden tener una, dos o ninguna solución.  Cuando no hay término en x, la ecuación se puede resolver pasando el término independiente al otro lado y tomando raíces cuadradas.  Cuando no hay término independiente, la ecuación se puede resolver sacando factor común la x (con lo cual una solución es x = 0) y reduciendo la ecuación a una de primer grado.

 La ecuación x2 + x - 2 = 0 tiene dos soluciones, x = 1 y  La ecuación x2 - 6·x + 9 = 0 tiene una única solución, x = 3.  La ecuación x2 + 1 = 0 no tiene soluciones reales.

Por ejemplo, resolvamos x2 - 16 = 0. Pasamos - 16 al otro lado, obteniendo x2 = 16, y tomando raíces cuadradas en ambos lados nos queda x = 4, por tanto las dos soluciones son + 4 y - 4.

Por ejemplo, resolvamos la ecuación x2 + 3·x = 0. Sacando x factor común obtenemos x·(x + 3) = 0. Para que un producto de números reales sea cero uno de los dos debe ser cero, así que tenemos dos posibilidades: o bien x = 0 (que es una solución) o bien x + 3 = 0, en cuyo caso x = - 3, que es la otra solución de la ecuación inicial.