ANÁLISIS MATEMÁTICO INECUACIONES ALEXIS MONTALVO 1°CIME

INECUACIONES CONJUNTO DE SOLUCION DE UNA INECUACION: Se llaman conjunto solución de una inecuación a todos los números reales que la verifiquen, es decir, que dichos números reales dan la desigualdad en el sentido prefijado. RESOLUCION DE UNA INECUACION: El resolver una inecuación consiste en hallar un conjunto de solución; es decir, encontrar el intervalo donde están los valores que puede tomar la incógnita para que verifique la inecuación.

TIPOS DE INECUACIONES

INECUACIONES POLINÓMICAS Una inecuación polinómica en una incógnita, es de la forma: Donde a0, a1,…., an son constantes y an ≠ 0, n є Z+   Resolución de una inecuación polinómica: 1°Caso.-Cuando las raíces de la ecuación polinómica p(x) =0, son reales diferentes. Es decir: r1<r2<…<rn-1<rn A) En los intervalos consecutivos determinados por las raices del polinomio P(x)=0, se alternan los signos “+” y “-” reeplazando por asignar el signo (+) al intervalo <rn,∞> B) si la inecuación polinómica es de la forma an >0; al conjunto solución será la solución será la única de los intervalos a los cuales a asignado el signo “+”. C)si la inecuación polinómica es de la forma an >0; el conjunto solución, será la unión de los intervalos a los cuales se les ha asignado el signo “-”.

Ejemplos Como la ecuación es de la forma P(x)<0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (-). Es decir xє<-∞,-2> U <,3 >

2°Caso Si en algunas de las raíces del polinomio P(x)=0 son reales de multiplicidad de orden mayor que 1 se tiene: A) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio P(x)=0 es par, en este caso a la raíz no se considera para la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo proceso del 1° caso. B) Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio P(x)=0, es impar, en este caso a la raíz se considera para la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo proceso del 1° caso.

EJEMPLOS

3° CASO Cuando alguna de las raíces del polinomio P(x)=0 no son reales, en este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores. EJEMPLO:

INECUACIONES FRACCIONARIAS Una inecuación fraccionaria en una incógnita es de la forma: Donde P(x) y Q(x) son monomios o polinomios diferentes de cero. Para resolver una inecuación fraccionaria debe tenerse en cuenta que las inecuaciones: son equivalentes a las inecuaciones P(x).Q(x)>0 ó P(x)Q(x)<0 es decir: de donde se tiene:

Ejemplos

INECUACIONES EXPONENCIALES Las inecuaciones exponenciales en una incógnita son de la forma: Donde f(x) y g(x) son expresiones en x, a є R+  ,a ≠1 Para resolver éstas inecuaciones se consideran 2 casos. 1° CASO. Si a>1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en el mismo sentido prefijado , es decir: 2° CASO. Si 0<a<1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en sentido contrario al prefijo, es decir:

Ejemplos:

Ejemplos:

INECUACIONES RACIONALES E iRRACIONALES Las inecuaciones irracionales en una incógnita son de la forma: Donde son monomios o polinomios diferentes de cero. Para que la solución de la inecuación sea válida debe resolverse antes la condición en las expresiones con un radical par, cuyo conjunto solución constituirá el universo o dentro del cuál se resuelve la inecuación dada. Debe observarse que , quiere decir, y si se desea la raíz negativa se escribirá expresamente como ; es decir. i) ii) Para resolver la inecuaciones radicales se debe tener en cuenta las siguientes propiedades: 1) 2) 3) 4) i) Si n es un entero positivo par. ii) Si n es un entero positivo impar.

EJEMPLOS:

Ejemplos:

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Definición: al valor absoluto del número real x lo denotaremos |x|, y se define por la regla. Propiedades del valor absoluto. 1) 2) 3) 4) 5) 6) Propiedades básicas para resolver inecuaciones con valor absoluto: 1) 2) 3) 4) i) ii) 5) 6) i) ii)

EJEMPLOS:

Ejemplos:

INECUACIONES LOGARÍTMICAS Para el estudio de las inecuaciones logarítmicas es necesario recordar lo siguiente: En primer lugar la definición de logaritmo es decir: En segundo lugar las propiedades de los logaritmos: A) B) C) D) E) F) G) 1°Caso.- Cuando la base es b>1: i) Los números mayores que 1, tienen logaritmo positivo. ii) Los números entre 0 y 1 tienen logaritmo negativo, entonces para cualquier se tiene: De donde deducimos las relaciones siguientes:

2° CASO.- Cuando la base es 0<b<1, en la gráfica podemos observar: i) Los números mayores que 1 tiene logaritmo negativo. ii) Los números entre 0 y 1 tiene logaritmo positivo, entonces para cualquier se tiene: De donde deducimos las relaciones siguientes: OBSERVACIÓN: Resumiendo, para la solución de las inecuaciones logarítmicas se obtiene de la siguiente manera:

EJEMPLOS

ejemplos: