SEMEJANZA U. D. 7 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

U. D. 7.4 * 4º ESO E. AP. TEOREMA DE PITÁGORAS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos. Los triángulos sagrados de los agrimensores egipcios ya empleaban los triángulos de lados: 3,4 y 5 nudos y de 5,12 y 13 nudos para hallar ángulos rectos. Observa la figura: Ilustra una de las pruebas más conocidas para demostrar el Teorema de Pitágoras a c b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Demostración GEOMÉTRICA b.c / 2 b.c / 2 Por una parte: b2 + c2 Por otra parte: 4. (b.c / 2) + (b – c)2 = = 2.b.c + b2 – 2.b.c + c2 = = b2 + c2 Conclusión: El área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa, es la suma de las áreas de los cuadrados de los catetos. b.c / 2 b.c / 2 b.c / 2 b.c / 2 b.c / 2 c b b.c / 2 b.c / 2 Cuadrado de lado l l = b – c  A = (b – c)2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Verificación. a2 = b2 + c2 6 6 En Azul+Rojo: 6 25 = 6+6+6+6+1 6 25 = 25 En Naranja: 25 = 16 + 9 Efectivamente: 42 + 32 = 25 6 6 6 6 9 6 6 6 c = 3 b = 4 6 16 6 Cuadrado de lado l l = 4 – 3 = 1  A = 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Demostración ANALÍTICA Partimos de un triángulo rectángulo ABC y aplicamos en el mismo el Teorema de Tales: El triángulo ABC es semejante al triángulo ABD por tener los ángulos iguales. m c --- = ---  m.a = c2 c a Asimismo el triángulo ABC es semejante al triángulo ADC por tener los ángulos iguales. n b --- = ---  n.a = b2 b a c b h m n C B a D Si sumamos las dos expresiones obtenemos: m.a + n.a = b2 + c2 a.(m + n ) = b2 + c2 a.a = b2 + c2  a2 = b2 + c2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Sea x un cateto y (x + 5) el otro. Por el T. de Pitágoras: Ejemplo_1 Comprueba que las ternas {3,4 y 5} y {5,12 y 13} utilizadas por los agrimensores egipcios cumplen el Teorema de Pitágoras. a2 = b2 + c2  52 = 42 + 32  25 = 16 + 9  25 = 25 a2 = b2 + c2  132 = 122 + 52  169 = 144 + 25  169 = 169 Ejemplo_2 Hallar los catetos de un triángulo rectángulo sabiendo que uno de ellos mide 5 cm más que el otro y la hipotenusa vale 15 cm. Sea x un cateto y (x + 5) el otro. Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2  152 = (x + 5)2 + x2   125 = x2 + 10.x + 25 + x2  2.x2 + 10.x – 100 = 0 Resolviendo la ecuación: x = [– 10 ± √(100 + 800)] / 4 = [– 10 ± 30] / 4 = 5 cm y – 10 cm Luego x = 5 cm un cateto, x + 5 = 5 + 5 = 10 cm el otro @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Aplicación Sea un triángulo de lados a, b y c, donde a es el lado mayor. Si a2 = b2 + c2  El triángulo es RECTÁNGULO. Tiene un ángulo recto (90º) opuesto al lado a. Si a2 < b2 + c2  El triángulo es ACUTÁNGULO. Los tres ángulos son menores de 90º. Si a2 > b2 + c2  El triángulo es OBTUSÁNGULO. Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º, el opuesto al lado a. a a a c c c A<90º A=90º A>90º b b b @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejercicios 1.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 7, 5 y 10 cm respectivamente?. Resolución El mayor, 10, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. Como a2 = b2 + c2  102 = 72 + 52  100 = 49 + 25  100 = 74  100 > 74 Como 100 > 74 es un triángulo obtusángulo. 2.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 60, 11 y 61 cm respectivamente?. El mayor, 61, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. Como a2 = b2 + c2  612 = 602 + 112  3721 = 3600 + 121  Efectivamente 3721 = 3721, luego es un triángulo rectángulo. 3.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 10, 11 y 12 cm respectivamente?. El mayor, 12, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. Como a2 = b2 + c2  122 = 112 + 102  144 = 121 + 100  144 = 221  144 < 121 Como 144 < 121 es un triángulo acutángulo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Problemas de Pitágoras Ejemplo_1 Al construir un marco para una ventana rectangular, un carpintero mide el largo y la diagonal, que le dan 8 dm y 10 dm respectivamente. ¿Qué tiene que medir el alto para que el marco esté bien hecho?. Como la ventana ha de ser un rectángulo, se debe cumplir el Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2  102 = 82 + h2  h2 = 100 – 64  h2 = 36  h = 6 dm debe medir. La otra solución de la ecuación, h = - 6 cm Es imposible porque sólo hay longitudes positivas. 10 cm h 8 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Problemas de Pitágoras Ejemplo_2 Una escalera mide 13 m de larga. La colocamos inclinada sobre una pared, de modo su base está separada 5 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera en estas condiciones?. Como pared y el suelo forman un ángulo de 90º, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2  132 = 52 + h2  169 = 25 + h2  h2 = 169 – 25 = 144 h = √144 = 12 m alcanza la escalera. La otra solución, - 12 m , no vale. 13 m h 5 m @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.