Relaciones entre variables Hasta ahora nos hemos centrado en el estudio de una única variable (x). Sin embargo, los conjuntos de datos que contienen información de más de una variable nos permiten estudiar la relación o asociación que existe entre ellas.

Relaciones entre variables En los siguientes temas nos vamos a centrar en el estudio de 2 variables simultáneamente (x,y) , con objeto de analizar las relaciones que existan entre ellas. Ejemplos: peso/altura; nota/horas de estudio; colesterol/infarto…

Relaciones entre variables Analizaremos la relación entre variables cualitativas o discretas. La distribución conjunta de frecuencias contiene información sobre cada una de las variables y sobre la relación que existe entre ellas, se expresa mediante una tabla de doble entrada.

Relaciones entre variables Supongamos que disponemos de N pares de observaciones correspondientes a dos variables cualitativas o discretas X e Y. Ejemplo: datos de nivel de estudios y sexo de 50 personas. ● Supongamos que la variable X puede tomar “k” valores o clases y que la variable Y puede tomar “m” valores o categorías. Consideradas conjuntamente quedan definidas kxm categorías o valores.

X = Nivel de estudios K = 3 (filas) Y = sexo m = 2 (columnas) kxm=3x2=6 categorías: → hombre primarios, hombre medios, hombre superiores, mujer primarios, mujer medios, mujer superiores.

Frecuencia absoluta correspondiente a la categoría 1 de “x” y 2 de “y”   Mujer Hombre x Primarios n 11 n 12 N1 Medios n 21 n 22 N2 superiores n 31 n 32 N3 N

Distribución conjunta de frecuencias Frecuencia absoluta conjunta: nij recibe el nombre de frecuencia absoluta conjunta de la clase ij y representa el número de datos que pertenecen a la clase i-ésima de X y a la categoría j-ésima de Y. La suma de las frecuencias absolutas conjuntas es igual a N.

Tabla de distribución conjunta de frecuencias absolutas   Y X d1 d2 … dm-1 dm c1 n11 n12 n1m-1 n1m c2 n21 n22 n2m-1 n2m ck-1 nk-11 nk-12 nk-1m-1 nk-1m ck nk1 nk2 nkm-1 nkm N

Distribución conjunta de frecuencias absolutas Ejemplo: Tenemos datos de 10 individuos de las variables X (nivel de estudios: 1 sin estudios, 2 primarios, 3 medios y 4 superiores) e Y (nº de veces que se acude al médico al año): X: 1 1 2 2 3 3 4 4 4 4 Y: 2 6 2 2 2 4 2 4 4 6   Y X 2 4 6 1 3 N=10 Distribución conjunta de frecuencias absolutas

Frecuencia relativa conjunta Recibe el nombre de frecuencia relativa conjunta de la clase ij y representa la proporción de datos que pertenecen a la clase i-ésima de X y a la categoría j-ésima de Y. La suma de las frecuencias relativas conjuntas es igual a 1.

Ejemplo: Frecuencia relativa conjunta   Y X 2 4 6 1 1/10=0,1 0,1 2/10=0,2 3 0,2

Frecuencias marginales Son las distribuciones individuales de cada una de las variables. Se pueden calcular de forma sencilla a partir de la distribución conjunta sumando por filas y columnas. ●Las distribuciones marginales absolutas se obtienen a partir de la distribución absoluta conjunta. La distribución marginal absoluta de X se obtiene sumando la frecuencia de todos los valores de Y manteniendo X fijo, es decir,

● La distribución conjunta contiene más información sobre las dos variables que ambas distribuciones marginales ya que nos dice cómo se relacionan las variables. A partir de la conjunta podemos conocer las marginales pero no a la inversa.

Ejemplo: X=nivel de estudios e Y=visitas médico Distribuciones absolutas conjunta y marginal: Distribuciones relativas conjunta y marginal:   Y X 2 4 6 ni. 1 3 n.j 5 N=10 Y   X 2 4 6 fi. 1 0,1 0,2 3 0,4 f.j 0,5 0,3

Distribuciones condicionadas Se trata de estudiar la distribución de una variable para un nivel dado de la otra. ● Las frecuencias relativas condicionadas se obtienen dividiendo la frecuencia conjunta (absoluta o relativa) entre la marginal (absoluta o relativa) de la variable que condiciona.

Ejemplo: X=color ojos e Y=color pelo Distribuciones absolutas/relativas conjunta y marginal: Por ejemplo, ¿qué proporción de rubios tiene los ojos azules? Hay 10 rubios con ojos azules, pero no representan la misma proporción entre el total de 42 personas (rubias o morenas) que entre los 17 rubios. Y   X Rubio Moreno ni./ fi. Azul 10/0,238 4/0,095 14/0,333 Verde 5/0,119 1/0,024 6/0,143 Marrón 2/0,048 20/0,476 22/0,524 n.j/ f.j 17/0,405 25/0,595 42/1 10/17 = 0,238/0,405

En el ejemplo, la distribución del color de ojos entre los individuos rubios, es decir, la distribución del color de ojos condicionada por ser rubio será: La suma de las frecuencias condicionadas para un valor fijo es igual a 1

● Se dice que dos variables X e Y son independientes cuando la distribución de X condicionada a que Y tome un valor yj es la misma para todos los valores de yj y coincide con su distribución marginal. En nuestro ejemplo, No son independientes, ya que:

y por tanto el color de pelo y el color de ojos no son independientes. Se dice que dos variables X e Y son independientes cuando la frecuencia relativa conjunta es igual al producto de las frecuencias relativas marginales: luego: y por tanto el color de pelo y el color de ojos no son independientes.

Ejercicio 7.6 (Peña y Romo) Hallar las distribuciones de NPER condicionadas por los valores 2, 3, 5, 6 y 7 de CAPITAS.