Matemáticas 1º Bachillerato CT TRIGONOMETRÍA U.D. 10 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

U.D. 10.6 * 1º BCT RAZONES DEL ÁNGULO DOBLE Y DEL ÁNGULO MITAD @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Razones del ángulo doble RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE DE OTRO Tenemos por un lado: sen (α+β) = sen β.cos α + cos β.sen α Y también: cos (α+β) = cos β.cos α – sen β.sen α Si β = α sen 2α = sen α .cos α + cos α .sen α = 2. sen α .cos α cos 2α = cos α .cos α – sen α .sen α = cos2 α – sen2 α tg α + tg α 2.tg α tg 2α = ------------------ = -------------- 1 – tg α. tg α 1 – tg2 α @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Razones del ángulo mitad RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD DE OTRO Tenemos: cos 2α = cos2 α – sen2 α Podemos poner: cos α = cos2 (α /2) – sen2 (α /2) Puesto que α es el doble de (α/2) Como además sabemos que 1 = cos2 (α /2) + sen2 (α /2) cos α = (1 – sen2 (α /2)) – sen2 (α /2) cos α = 1 – 2.sen2 (α /2)  sen2 (α /2) = (1 – cos α)/2 De manera semejante: cos α = cos2 (α /2) – (1 – cos2 (α /2)) cos α = 2.cos2 (α /2) – 1  cos2 (α /2) = (1 + cos α)/2 Quedando: sen (α /2) = ± √ [ (1 – cos α) / 2] ,, cos (α /2) = ± √ [ (1 + cos α) / 2] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejercicios Ejemplo 1 Hallar las razones trigonométricas de 60º en función de las de 30º Tenemos: sen 2α = 2. sen α .cos α cos 2α = cos2 α – sen2 α 2.tg α tg 2α = -------------- 1 – tg2 α Luego: sen 60º = 2. sen 30º .cos 30º = 2.0,5.0,866 = 0,866 cos 60º = cos2 30º – sen2 30º = 0,8662 – 0,52 = 0,75 – 0,25 = 0,5 2.tg 30º 2.0,5773 1,1546 tg 60º = ---------------- = ---------------- = ----------- = 1,7321 1 – tg2 30º 1 – 0,3333 0,6667 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejercicios Ejemplo 2 Hallar las razones trigonométricas de 22,5º , sabiendo que: sen 45º = cos 45º = √2 / 2 = 0,707 Tenemos: sen (α /2) = ± √ [ (1 – cos α) / 2] cos (α /2) = ± √ [ (1 + cos α) / 2] Al estar en el 1º Cuadrante, el seno y coseno de 22,5º serán positivos. Luego: sen 22,5º = √ [ (1 – cos 45º) / 2] = √ [ (1 – 0,7071) / 2] = = √ [ 0,2929 / 2] = √ [ 0,14645] = 0,3827 cos 22,5º = √ [ (1 + cos 45º) / 2] = √ [ (1 + 0,7071) / 2] = = √ [ 1,7071 / 2] = √ [ 0,85355] = 0,9239 tg 22,5º = sen 22,5º / cos 22,5º = 0,3827 / 0,9239 = 0,4142 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Transformación SumasProductos Transformación de Sumas en Productos Tenemos: sen (α+β) = sen β.cos α + cos β.sen α sen (α – β) = sen α . cos β – cos α . sen β Resolviendo el sistema, sumando ambas: sen (α+β) + sen (α – β) = 2.sen α . cos β Resolviendo el sistema, restando ambas: sen (α+β) – sen (α – β) = 2.cos α . sen β Realizando un cambio de variables: α+β = S y α – β = D  α = (S + D) / 2 ,, β = (S – D) / 2 Queda: sen S + sen D = 2.sen [(S + D) / 2] . cos [(S – D) / 2] sen S – sen D = 2.cos [(S + D) / 2] . sen [(S – D) / 2] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Transformación SumasProductos Transformación de Sumas en Productos Tenemos: cos (α+β) = cos β.cos α – sen β.sen α cos (α – β) = cos α .cos β + sen α . sen β Resolviendo el sistema, sumando ambas: cos (α+β) + cos (α – β) = 2.cos α . cos β Resolviendo el sistema, restando ambas: cos (α+β) – cos (α – β) = – 2.sen α . sen β Realizando un cambio de variables: α+β = S y α – β = D  α = (S + D) / 2 ,, β = (S – D) / 2 Queda: cos S + cos D = 2.cos [(S + D) / 2] . cos [(S – D) / 2] cos S – cos D = – 2 .sen [(S + D) / 2] . sen [(S – D) / 2] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejercicios Ejemplo 1 Hallar el valor exacto de cos 105º + sen 15º Sabemos que, al ser complementarios, sen 15º = cos 75º Tenemos: cos 105º + cos 75º , suma que ahora sí se puede transformar en un producto: cos 105º + cos 75º = 2.cos 90º . cos 15º cos 105º + cos 75º = 2.0.cos 15º = 0 Ejemplo 2 Hallar el valor exacto de sen 195º – sen 105º Tenemos, transformando en un producto: : sen 195º – sen 105º = 2.cos 150º . sen 45º sen 195º – sen 105º = 2.cos (180º - 30º) . sen 45º sen 195º – sen 105º = - 2.cos 30º . sen 45º = - 2.√0,75. √2 / 2 = - 0’5√3.√2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejercicios Ejemplo 3 Transforma en productos y resuelve el valor de cos 75º + cos 45º Tenemos: cos 75º + cos 45º = - 2.sen 60º . sen 15º cos 75º + cos 45º = - 2. 0’5√3 . √ [ (1 – cos 30º)/2 ] cos 75º + cos 45º = - √3 . √ [ (1 – 0’5√3) / 2 ] Ejemplo 4 Hallar el valor exacto de sen 170º – sen 10º Tenemos, transformando en un producto: sen 170º – sen 10º = 2.cos 90º . sen 80º sen 170º – sen 10º = 2.0. sen 80º sen 170º – sen 10º = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT