Distribuciones muestrales e Intervalos de Confianza

¿Estimación de parámetros o estadísticos? La población es un conjunto grande de personas de quienes deseamos obtener información. Para ahorrar tiempo y dinero, se obtienen muestras en lugar de preguntar toda la población. Los estadísticos de una muestra proporcionan estimaciones de los parámetros reales de la población total. Parámetros Estadísticos Población total Muestra de la población Total de estudiantes: 1,600 en la FCPyS Muestra aleatoria de 200 estudiantes en la FCPyS Media poblacional Media de la muestra Porcentaje de mujeres de la población total Porcentaje de mujeres de la muestra

Estimaciones puntuales y error de muestreo De la muestra de 200 estudiantes, se obtuvo una media de 8.5 en calificación de la materia de estadística. ¿Podrá ser 8.5 también la media de toda la población de la FCPyS en la clase de estadística? NO Es la diferencia entre el valor calculado de un estadístico de una muestra y el valor real de un parámetro de la población (que se desconoce). Error de muestreo Es un estadístico (media, desviación, min, máx. etc.) proporcionado sin indicar un rango de error. P.e. la media de 8.5 en calificaciones. Estimación puntual

Predicción del error de muestreo Al inicio los estadísticos observaron que al tomar una muestra y calcular varios estadísticos (media, moda, desviación estándar), y luego tomar otra muestra de la misma población y volver a calcular los mismos estadísticos, estos eran ligeramente distintos de una muestra a otra.

Predicción del error de muestreo Tomar una muestra 1 , y calcular estadísticos. Tomar muestra 2 y calcular estadísticos. Tomar muestra 3... … Tomar muestra 100 y calcular estadísticos. Se descubrió la existencia del error de muestreo. Muestreo repetido

Símbolos matemáticos para distinguir poblaciones y muestras Población Muestra µ=4.5 Media de una población de niños 𝑋 = Media de una muestra de la población σ=.5 Desviación estándar de una población (DE) 𝑆 𝑥 = Desviación estándar de una muestra de la población (DE)

Distribuciones muestrales Es una descripción matemática de todos los resultados posibles y la probabilidad de cada uno. Ejemplo: En un hospital, se obtuvo la media de la edad de todos los 1,440 médicos que trabajan ahí. µ=48 años σ= 6 años Se toman 500 muestras, cada una tiene 144 médicos. Para cada una de las 500 muestras se calcula la media ( 𝑋 ) (47.9, 48.2, 48.5, 47.5…) Luego se grafican las 1000 medias muestrales. Las medias están ligeramente erradas de la real.

Error Estándar

Intervalos de Confianza Es un rango de valores posibles de un parámetro expresado con un grado específico de confianza. “Estamos 95% seguros de que es verdadero el valor.” Nivel de confianza.

6 pasos para el calculo del Intervalo de Confianza Problema: Se quiere realizar un estudio sobre los salarios en una fábrica de computadoras en EUA, en dónde trabajan miles de personas. Necesitamos obtener una idea aproximada del salario por hora medio de esta población de trabajadores. Seleccionamos al azar 129 expedientes del personal y registramos los salarios por hora. Se encuentra que para esta muestra, la media del salario es de $8.00 dólares por hora y con un error estándar de $1.70. Calcula el intervalo de confianza de 95% para la media del salario por hora de los trabajadores

Paso 1. Pregunta de investigación. ¿Cuál es el parámetro µ del salario por hora de la población de ensambladores de computadoras? Datos: 𝑿 =$8 𝑺 𝒙 =$1.70 n=129

Paso 2. Calcular el Error estándar Cuando tenemos la desviación estándar y la media 𝑆 𝑋 = 𝑆 𝑥 𝑛 Cuando tenemos sólo proporciones 𝑆 𝑝 = 𝑃∗𝑄 𝑛 ¿Cuál usamos para calcular el EE? 𝑺 𝑿 = 𝟏.𝟕𝟎 𝟏𝟐𝟗 =$0.15

Paso 3. Puntuación Z crítica y el término de error Se usarán los valores de la tabla de la normal. La puntuación Z de ±1.96 se refiere a la puntuación crítica, que cubre el 95% del área de la curva. Esto se traduce en el 95% de confianza de que el estadístico (media de salario) es acertado y parecido al del parámetro de la población. Término de error= ( 𝑍 ∝ )∗( 𝑆 𝑥 ) Término de error= (1.96)∗ 0.15 =$𝟎.𝟐𝟗

Paso 4. Calcula el Intervalo de Confianza (IC), el LCI y el LCS El intervalo de confianza de una media poblacional es una media muestral más y menos un término del error: (100%-𝛼) IC de µ = 𝑋 ± 1.96 ∗( 𝑆 𝑥 ) IC de 95% de µ= media muestral ± termino de error IC de 95% de µ= $8.00 ± $0.29 Limite de Confianza Inferior LCI= $8.00 - $0.29 = $7.71 Limite de Confianza Superior LCS= $8.00 + $0.29 = $ 8.29

Paso 5. Interpretación en lenguaje común “estoy 95% segura de que el salario por hora medio de los ensambladores de computadoras de la plana está entre $7.71 y $8.29” Paso 6. Interpretación estadística, mencionando la “confianza del procedimiento” “Sí se realizan los mismos procedimientos muestrales 100 veces, 95 veces el parámetro poblacional µ estará comprendido en los intervalos calculados y 5 veces no. Por lo tanto, se tiene una confianza de 95% de que este intervalo de confianza individual que se calculó, incluya el parámetro real.

Problema 1: Siguiendo los 6 pasos para calcular un intervalo de confianza, calcula e interpreta el intervalo de confianza de 95% para los datos siguientes: X= edad 𝑋 (𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎)=57 años n= 189 investigadores de la FCPyS Desviación estándar= 9 años

Problema 2 Tu has sido contratado por el Senado de la República. Se quiere saber la proporción de sus 6,421 funcionarios piensan apoyar la nueva resolución del gasto del presupuesto CONACYT. Seleccionas al azar 279 funcionarios del senado y descubres que 101 apoyan la resolución. A fin de mantener informado al senado, de las últimas cifras de la encuesta, calcula en interpreta el intervalo de confianza de 95%. Sigue el procedimiento de los 6 pasos.

Problema 3 Deseas calcular una estimación de intervalo del ingreso medio de funcionarios públicos. Para esto obtienes una muestra aleatoria de 214 funcionarios. Determinar un ingreso medio de $43,571 con un error estándar de $4,792. Siguiendo el procedimiento de los seis pasos, elabora el intervalo de confianza de 95%. Explica tus resultados.