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Estadística Administrativa II
USAP Estadística Administrativa II 2018-1 Regresión lineal simple
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Análisis de regresión Técnica para desarrollar la ecuación de regresión y proporcionar los valores estimados.
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Ecuación que expresa la relación lineal entre dos variables.
Ecuación de Regresión Ecuación que expresa la relación lineal entre dos variables.
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Principio de mínimos cuadrados
“Determina una ecuación de regresión al minimizar la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los valores reales de Y y los valores pronosticados de Y.” (Lind |Marchal |Wathen, 2008, p.471).
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𝑌 =𝑎+𝑏𝑋 Ecuación de regresión
𝑌 : Valor de pronóstico 𝑋 : Variable independiente 𝑎 : Intersección en Y 𝑏 : Pendiente de la ecuación de regresión
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Pendiente de la recta de regresión
𝑏=𝑟∗ 𝑠 𝑌 𝑠 𝑋 𝑏 : Pendiente de la ecuación de regresión 𝑟 : Coeficiente de correlación 𝑠 𝑌 : Desviación estándar de Y 𝑠 𝑋 : Desviación estándar de X
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Intercepto en Y 𝑎= 𝑌 −𝑏 𝑋 𝑎 : Intercepto en Y 𝑌 : Media aritmética de la variable Y 𝑏 : Pendiente de la ecuación 𝑋 : Media aritmética de la variable X
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Ejemplo . . . En una empresa multinacional se estudió la relación entre las ventas reportadas y los gastos generados por publicidad. La información del último cuatrimestre, en millones de dólares se detalla a continuación. Determinar la ecuación de regresión. Estimar las ventas cuando se gastan 6 millones de dólares en publicidad.
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. . .Ejemplo Calcular el coeficiente de correlación 𝑋 = 10 4 =2.5
- Calcular las medias aritméticas 𝑋 = 10 4 =2.5 𝑌 = 28 4 =7
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. . .Ejemplo 𝑋 =2.5 𝑌 =7 Calcular el coeficiente de correlación
- Calcular variación simple
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. . .Ejemplo 𝑋 =2.5 𝑌 =7 Calcular el coeficiente de correlación
- Calcular variación cuadrada - Calcular desviación estándar 𝑠 𝑌 = −1 =2.94 𝑠 𝑋 = 5 4−1 =1.29
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. . .Ejemplo Calcular el coeficiente de correlación 𝑠 𝑋 =1.29
𝑋− 𝑋 𝑌− 𝑌 =11 𝑠 𝑌 =2.94 𝑛=4 𝑟= 𝑋− 𝑋 (𝑌− 𝑌 ) 𝑛−1 𝑠 𝑋 𝑠 𝑌 𝑟= 11 (4−1)(1.29)(2.94) 𝑟=0.967
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. . .Ejemplo Determinar la Ecuación de regresión lineal
- Calcular la pendiente de la ecuación 𝑏=𝑟∗ 𝑠 𝑌 𝑠 𝑋 𝑏=0.967∗ 𝑏=2.2 𝑠 𝑋 =1.29 𝑠 𝑌 =2.94 𝑟=0.967 - Calcular el intercepto de la ecuación 𝑋 =2.5 𝑎= 𝑌 −𝑏 𝑋 𝑎=7− 𝑎=1.5 𝑌 =7 𝑏=2.2
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. . .Ejemplo 𝑎=1.5 Ecuación de regresión lineal 𝑏=2.2 𝑌 = 𝑋
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. . .Ejemplo 𝑌 =1.5+2.2𝑋 𝑎=1.5 𝑏=2.2 Ecuación de regresión lineal
- Recta de regresión lineal
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. . .Ejemplo Calcular la estimación si se gastan 6 millones de dólares. 𝑌 = 𝑋 𝑋= 𝑌 = =14.7 Si se gastan 6 millones de dólares en publicidad se podrían esperar ventas de 14.7 millones.
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Error estándar de la estimación
“Medida de dispersión de los valores observados respecto de la recta de regresión.” (Lind |Marchal |Wathen, 2008, p.478).
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Error estándar de la estimación
Si el error estándar es pequeño, los datos están relativamente cercanos a la recta de la ecuación lineal. Se predice con poco error. Si el error estándar de la estimación es grande, los datos están dispersos. Se predice con error.
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Error estándar de la estimación
𝑠 𝑌∙𝑋 = (𝑌− 𝑌 ) 2 𝑛−2 𝑠 𝑌∙𝑋 : Error estándar de la estimación 𝑌 : Dato observado de variable dependiente 𝑌 : Valor pronosticado paralelo a Y 𝑛 : Tamaño de la muestra
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Ejemplo . . . En una empresa multinacional se estudió la relación entre las ventas reportadas y los gastos generados por publicidad. La información del último cuatrimestre, en millones de dólares se detalla a continuación. Calcular el error estándar de la estimación para la ecuación: 𝑌 = 𝑋
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. . .Ejemplo 𝑠 𝑌∙𝑋 = (𝑌− 𝑌 ) 2 𝑛−2 Calcular la tabla de pronósticos
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. . .Ejemplo Calcular la variación de Y con respecto al pronóstico.
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. . .Ejemplo Calcular el error de la estimación 𝑠 𝑌∙𝑋 = (𝑌− 𝑌 ) 2 𝑛−2
𝑠 𝑌∙𝑋 = (𝑌− 𝑌 ) 2 𝑛−2 𝑠 𝑌∙𝑋 = −2 =0.95
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Intervalos de confianza y de predicción
El error estándar de la estimación también se emplea para establecer intervalos de confianza. Cuando el tamaño de la muestra es grande y la dispersión respecto a la recta de regresión se aproxima a la distribución normal.
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Intervalo de confianza
𝐼𝐶 𝑥% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 𝑋− 𝑋 2 Intervalos Intervalo de predicción 𝐼𝐶 𝑥% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 𝑛 + 𝑋− 𝑋 𝑋− 𝑋 2
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Intervalo de confianza
𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 𝑋− 𝑋 2 𝑌 : Pronóstico 𝑡 : Valor según el nivel de significancia en la tabla t-Student 𝑠 𝑌∙𝑋 : Error estándar de la estimación 𝑛 : Tamaño de la muestra 𝑋 : Variable independiente 𝑋 : Media aritmética de la variable independiente
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Ejemplo . . . 14-febrero En una empresa multinacional, los pronósticos de las ganancias por ventas (Y) están relacionados con los gastos en publicidad (X) en base a la ecuación 𝑌 = X, con un error estándar de la estimación de La tabla de pronósticos asociada es la siguiente:
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. . . Ejemplo 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2 𝑛=4 𝑌 =1.5+2.2𝑋
Con una confiabilidad del 95%, determinar el intervalo de confianza para cuando la empresa gaste 5 millones de lempiras. 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 𝑋− 𝑋 2 Datos conocidos 𝑛=4 𝑌 = 𝑋 𝑋− 𝑋 2 =5 𝑠 𝑌∙𝑋 =0.95 Calcular la media aritmética para la variable X = 5. 𝑋 = =2.5
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. . . Ejemplo 𝑋 =2.5 Calcular el pronóstico para la variable X = 5. 𝑌 = =12.5 Determinar el valor de t para el intervalo de confianza del 95% para muestras de tamaño 4. 𝑔𝑙=4−2=2 𝑡=4.303 Calcular la variación cuadrada de X con respecto a la media aritmética 𝑋− 𝑋 2 = 5− =6.25
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. . . Ejemplo Determinar el valor de t para el intervalo de confianza del 95% para muestras de tamaño 4. 𝐼𝐶 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 𝑋− 𝑋 2 𝐼𝐶 95% =12.5±4.303∗ 𝐼𝐶 95% =12.5±4.303∗1.16 𝐼𝐶 95% = 12.5−5.01= =17.51 Con un 95% de confianza se puede prever una ganancia entre 7 y 18 millones
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Intervalo de predicción
𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 𝑛 + 𝑋− 𝑋 𝑋− 𝑋 2 𝑌 : Pronóstico 𝑡 : Valor según el nivel de significancia en la tabla t-Student 𝑠 𝑌∙𝑋 : Error estándar de la estimación 𝑛 : Tamaño de la muestra 𝑋 : Variable independiente 𝑋 : Media aritmética de la variable independiente
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Ejemplo . . . En una empresa multinacional, los pronósticos de las ganancias por ventas (Y) están relacionados con los gastos en publicidad (X) en base a la ecuación 𝑌 = X. La tabla de pronósticos asociada es la siguiente:
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. . . Ejemplo 𝐼𝑃 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1+ 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 2 𝑋− 𝑋 2
Con los datos con que se calculó el intervalo de confianza del 95%, determinar el intervalo de predicción para el mes específico en que se gasten 5 millones de Lempiras. Datos conocidos 𝐼𝐶 95% =12.5±4.303∗ Fórmula del intervalo de predicción. 𝐼𝑃 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 𝑛 + 𝑋− 𝑋 𝑋− 𝑋 2
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. . . Ejemplo Intervalo de predicción
𝐼𝐶 95% =12.5±4.303∗ Intervalo de predicción 𝐼𝑃 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 𝑛 + 𝑋− 𝑋 𝑋− 𝑋 2 𝐼𝑃 95% =12.5±4.303∗ =12.5±6.46 𝐼𝑃 95% = 12.5−6.46= =18.96 Con un 95% de confianza se puede predecir una ganancia entre 6 y 19 millones
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Prácticas
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Práctica # 1 En una empresa que se dedica a hacer viajes a la ciudad de Tegucigalpa, los viajes que se realizan están relacionados con la cantidad de vehículos que se mantienen activos cada día. Una muestra de 8 días, reveló la cantidad de viajes que se habían realizado. Determinar el intervalo de confianza y el intervalo de predicción del 95% para 10 vehículos
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Desarrollo práctica # 1 Coeficiente de correlación
Coeficiente de determinación Prueba de la fortaleza de la correlación Ecuación de regresión lineal Error estándar de la estimación Intervalo de confianza Intervalo de predicción
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Desarrollo práctica # 1 Coeficiente de correlación - Media aritmética
𝑋 =5 𝑌 =11
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Desarrollo práctica # 1 Coeficiente de correlación 𝑋 =5 𝑌 =11
- Variación simple
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Desarrollo práctica # 1 Coeficiente de correlación 𝑋 =5 𝑌 =11
- Variación cuadrada
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Desarrollo práctica # 1 Coeficiente de correlación 𝑋 =5 𝑌 =11
- Desviación estándar 𝑠 𝑋 = 𝑋 𝑖 − 𝑋 𝑛−1 = −1 =1.77 𝑠 𝑌 = 𝑌 𝑖 − 𝑌 𝑛−1 = −1 =3.07 - Tamaño de la muestra 𝑛=8
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Existe una correlación negativa fuerte
Desarrollo práctica # 1 𝑋 =5 Coeficiente de correlación 𝑌 =11 𝑋 𝑖 − 𝑋 𝑌 𝑖 − 𝑌 =−27 𝑛=8 𝑠 𝑋 =1.77 𝑠 𝑌 =3.07 𝑟= 𝑋 𝑖 − 𝑋 𝑌 𝑖 − 𝑌 𝑛−1 𝑠 𝑋 𝑠 𝑌 𝑟= −27 8−1 1.77∗3.07 Existe una correlación negativa fuerte 𝑟=−0.71
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Desarrollo práctica # 1 Coeficiente de determinación
𝑟=−0.71 𝑟 2 = −0.71 =0.5039 Existe una correlación negativa del 50% Importancia del coeficiente de correlación Paso 1: Hipótesis nula y alternativa 𝐻 0 :𝜌=0 𝐻 𝑎 :𝜌≠0 Paso 2: Nivel de significancia 𝛼=0.05
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Desarrollo práctica # 1 Importancia del coeficiente de correlación
Paso 3: Estadístico de prueba 𝑡= 𝑟 𝑛−2 1− 𝑟 2 Paso 4: Regla de decisión 𝐻 0 :𝜌=0 2 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑠 𝛼=0.05 𝑛=8 𝑔𝑙=6 𝑡=2.447
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Desarrollo práctica # 1 Importancia del coeficiente de correlación
𝑡=2.447 Importancia del coeficiente de correlación Paso 5: Toma de decisión 𝑡= 𝑟 𝑛−2 1− 𝑟 2 = −0.71(8−2) 1−0.5039 𝑡=−6.05 La hipótesis nula se rechaza Sí existe relación entre ambas variables corregir
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Desarrollo práctica # 1 Ecuación de regresión lineal 𝑌 =𝑎+𝑏𝑋 𝑋 =5
𝑌 =11 𝑌 =𝑎+𝑏𝑋 𝑠 𝑋 =1.77 - Pendiente 𝑠 𝑌 =3.07 𝑏=𝑟∗ 𝑠 𝑌 𝑠 𝑋 =−0.71∗ 𝑟=−0.71 𝑏=−1.23 - Intercepto 𝑎=11−(−1.23)(5) 𝑎=17.2
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Desarrollo práctica # 1 Ecuación de regresión lineal
𝑌 =17.2−1.23𝑋 Recta de ecuación lineal
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Desarrollo práctica # 1 Ecuación de regresión lineal Pronósticos
𝑌 =17.2−1.23𝑋 Pronósticos
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Desarrollo práctica # 1 Error estándar de la estimación.
𝑠 𝑌∙𝑋 = (𝑌− 𝑌 ) 2 𝑛−2 𝑠 𝑌∙𝑋 = −2 =2.34
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Desarrollo práctica # 1 Intervalo de confianza
𝑠 𝑌∙𝑋 =2.34 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 𝑋− 𝑋 2 - Pronóstico para 10 vehículos 𝑌 =17.2− =4.9=5 - Valor de t del 95% para n=8 𝑔𝑙=8−2 𝑡=2.447
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Desarrollo práctica # 1 𝑋 =5 Intervalo de confianza
- Variación cuadrada para X=10 𝑋− 𝑋 2 = 10−5 2 =25 - Variación cuadrada de la muestra 𝑋− 𝑋 2 =
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Desarrollo práctica # 1 𝑋 =5 Intervalo de confianza 𝑌 =5 𝑡=2.447
𝐼𝐶 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 𝑋− 𝑋 2 𝑌 =5 𝑡=2.447 𝑠 𝑌∙𝑋 =2.34 𝑛=8 𝑋− 𝑋 2 =25 𝑋− 𝑋 2 =22
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Desarrollo práctica # 1 Intervalo de confianza 𝐼𝐶 95% =5±6.43
𝐼𝐶 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 𝑋− 𝑋 2 𝐼𝐶 95% =5±2.447∗ 𝐼𝐶 95% =5±6.43 𝐼𝐶 95% = 5−6.43=− =11.43 El intervalo del 95% de confianza para un promedio de 10 vehículos estima una ganancia en las ventas entre 0 y 11 millones.
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Desarrollo práctica # 1 Intervalo de predicción
𝐼𝑃 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 𝑛 + 𝑋− 𝑋 𝑋− 𝑋 2 𝐼𝑃 95% =5±2.447∗ =5±8.61 𝐼𝑃 95% = 5−8.61=− =13.61 El intervalo del 95% de predicción cuando estén activos 10 vehículos estima una ganancia en las ventas entre 0 y 14 millones.
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Práctica # 2 En el negocio de publicidad, la circulación es parte vital. Cuantas más ventas registre una revista, mayor cantidad de anunciantes tendrá. Los siguientes datos representan las ventas reportadas y las ventas auditadas de los puestos de periódicos para las siguientes 7 revistas: Determinar el intervalo de confianza y el intervalo de predicción del 95% para 400,000 revistas reportadas.
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Desarrollo de práctica # 2
Primero se reportan las ventas (X) y luego se auditan (Y). Para manejar de manera fácil los números, se divide entre múltiplos de 10. En este caso se hizo la división entre 10,000, redondeado a 1 decimal.
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Desarrollo de práctica # 2
Diagrama de dispersión
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Desarrollo práctica # 2 Coeficiente de correlación - Media aritmética
𝑋 =39.0 𝑌 =25.4
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Desarrollo práctica # 2 Coeficiente de correlación 𝑋 =39.0 𝑌 =25.4
- Variación simple
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Desarrollo práctica # 2 Coeficiente de correlación 𝑋 =39.0 𝑌 =25.4
- Variación cuadrada
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Desarrollo práctica # 2 Coeficiente de correlación 𝑋 =39.0 𝑌 =25.4
- Desviación estándar 𝑠 𝑋 = 𝑋 𝑖 − 𝑋 𝑛−1 = −1 =18.9 𝑠 𝑌 = 𝑌 𝑖 − 𝑌 𝑛−1 = −1 =11.3 - Tamaño de la muestra 𝑛=7
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Existe una relación positiva fuerte
Desarrollo práctica # 2 Coeficiente de correlación 𝑋 =39.0 𝑋 𝑖 − 𝑋 𝑌 𝑖 − 𝑌 =1163.4 𝑌 =25.4 𝑛=7 𝑠 𝑋 =18.9 𝑠 𝑌 =11.3 𝑟= 𝑋 𝑖 − 𝑋 𝑌 𝑖 − 𝑌 𝑛−1 𝑠 𝑋 𝑠 𝑌 𝑟= −1 18.9∗11.3 Existe una relación positiva fuerte 𝑟=0.907
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Desarrollo práctica # 2 Coeficiente de determinación
𝑟=0.907 𝑟 2 = =0.8226 Existe una correlación positiva del 82% Importancia del coeficiente de correlación Paso 1: Hipótesis nula y alternativa 𝐻 0 :𝜌=0 𝐻 𝑎 :𝜌≠0 Paso 2: Nivel de significancia 𝛼=0.05
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Desarrollo práctica # 2 Importancia del coeficiente de correlación
Paso 3: Estadístico de prueba 𝑡= 𝑟 𝑛−2 1− 𝑟 2 Paso 4: Regla de decisión 𝐻 0 :𝜌=0 2 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑠 𝛼=0.05 𝑛=7 𝑔𝑙=5 𝑡=2.571
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Desarrollo práctica # 2 Importancia del coeficiente de correlación
𝑡=2.571 Desarrollo práctica # 2 Importancia del coeficiente de correlación Paso 5: Toma de decisión 𝑡= 𝑟 𝑛−2 1− 𝑟 2 = 0.907(7−2) 1−0.8226 𝑡=10.766 La hipótesis nula se rechaza Sí existe relación entre ambas variables
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Desarrollo práctica # 2 Ecuación de regresión lineal 𝑌 =𝑎+𝑏𝑋 𝑛=7
𝑟=0.907 𝑛=7 𝑌 =𝑎+𝑏𝑋 𝑠 𝑋 =18.9 - Pendiente 𝑠 𝑌 =11.3 𝑏=𝑟∗ 𝑠 𝑌 𝑠 𝑋 =0.907∗ 𝑋 =39.0 𝑌 =25.4 𝑏= 0.54 - Intercepto 𝑎=25.4−(0.54)(39) 𝑎=4.34
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Desarrollo práctica # 2 Ecuación de regresión lineal
𝑌 = 𝑋 Recta de ecuación lineal
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Desarrollo práctica # 2 Ecuación de regresión lineal Pronósticos
𝑌 = 𝑋 Pronósticos
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Desarrollo práctica # 2 Error estándar de la estimación.
𝑠 𝑌∙𝑋 = (𝑌− 𝑌 ) 2 𝑛−2 𝑠 𝑌∙𝑋 = −2 =5.21
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Desarrollo práctica # 2 Intervalo de confianza 𝑌 =4.32+0.54 40 =25.9
𝑠 𝑌∙𝑋 =5.21 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 𝑋− 𝑋 2 - Pronóstico para 400 mil revistas reportadas 𝑌 = =25.9 - Valor de t para n=7 𝑔𝑙=7−2 𝑡=2.571
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Desarrollo práctica # 2 Intervalo de confianza
𝑋 =39.0 Intervalo de confianza - Variación cuadrada para X=40 𝑋− 𝑋 2 = 40−39 2 =1 - Variación cuadrada de la muestra 𝑋− 𝑋 2 =
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Desarrollo práctica # 2 Intervalo de confianza 𝑌 =25.92 𝑡=2.571
𝐼𝐶 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 𝑋− 𝑋 2 𝑌 =25.92 𝑡=2.571 𝑠 𝑌∙𝑋 =5.21 𝑛=7 𝑋− 𝑋 2 =25 𝑋− 𝑋 2 =2154.4
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Desarrollo práctica # 2 Intervalo de confianza
𝐼𝐶 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 1 𝑛 + 𝑋− 𝑋 𝑋− 𝑋 2 𝐼𝐶 95% =25.9±2.571∗ 𝐼𝐶 95% =25.9±5.07 𝐼𝐶 95% = 25.9−5.07= =30.99 El intervalo del 95% de confianza para 400 mil revistas reportadas puede estar entre 209 y 310 mil revistas auditadas.
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Desarrollo práctica # 2 Intervalo de predicción
𝐼𝑃 95% = 𝑌 ±𝑡∗ 𝑠 𝑌∙𝑋 𝑛 + 𝑋− 𝑋 𝑋− 𝑋 2 𝐼𝑃 95% =25.9±2.571∗ 𝐼𝑃 95% =25.9±14.31 𝐼𝑃 95% = 25.9−14.31= =40.23 El intervalo del 95% de predicción para 400 mil revistas reportadas sería una auditoría entre 116 y 402 mil revistas.
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Excel Técnica para el cálculo de la regresión lineal
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Diagrama de dispersión
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Diagrama de dispersión
Dar clic sobre uno de los puntos generados
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Ecuación de regresión lineal
Dar clic al botón derecho de mouse
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Ecuación de regresión lineal
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Ecuación de regresión lineal
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Ecuación de regresión lineal
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Ecuación de regresión lineal
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Ecuación de regresión lineal
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Ecuación de regresión lineal
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Error estándar de la estimación
𝑠 𝑋∙𝑌 = 𝑌− 𝑌 𝑛−2
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Error estándar de la estimación
𝑠 𝑋∙𝑌 = 𝑌− 𝑌 𝑛−2
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Error estándar de la estimación
𝑠 𝑋∙𝑌 = 𝑌− 𝑌 𝑛−2
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Error estándar de la estimación
𝑠 𝑋∙𝑌 = 𝑌− 𝑌 𝑛−2
89
Error estándar de la estimación
90
Fin de la presentación Muchas gracias
Lind, D.A., Marchal, W.G., Wathen, S.A. (15). (2012). Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. México: McGrawHill David M. Levine, Timothy C. Krehbiel, Mark L. Berenson Estadística para Administración. (4° edición). Naucalpan de Juárez, México.: Pearson Prentice Hall
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