Escuela de Trabajo Social Matemática 2 Arquitecto: Otto R. Rojas M. Auxiliar: TS. Maritza Ronquillo Sesión de Trabajo No. 5 Tema: Sistema de ecuaciones lineales con dos variables. Método de reducción y método gráfico

Sistema de ecuaciones lineales con dos variables. Método de reducción Para resolver ecuaciones con dos variables, necesariamente debemos tener dos ecuaciones. Estas dos ecuaciones en conjunto forman el sistema de ecuaciones con dos variables o incógnitas. Por ejemplo las siguientes ecuaciones individualmente no podrían ser resueltas, sin embargo, en conjunto si es posible y, de esta manera podríamos hallar el valor tanto de la variable "x" como de la variable "y". 2x + 3y = 5 5x + 6y = 4 Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas puede tener: Solución única, Infinitas soluciones, ninguna solución. A continuación veremos dos métodos de solución de este tipo de ecuaciones.

1- Método de Reducción: En este método buscamos que en ambas ecuaciones una de las variables tenga coeficientes opuestos (mismo valor, pero con diferente signo) para que sea eliminada al sumarlas. Ejemplo 1: 2x + 3y = 5 (Ec. 1) 5x + 6y = 4 (Ec. 2) El objetivo es eliminar una de las variables, para ello algo práctico es cruzar los coeficientes que acompañan a esa variable, es decir, si escojo la variable equis para eliminarla, el coeficiente 2 de la ecuación 1, baja a multiplicar a toda la ecuación 2 y el coeficiente 5 sube a multiplicar a toda la ecuación 1. 2x + 3y = 5 ( – 5) 5x + 6y = 4 ( 2 ) – 10x – 15y = – 25 10x + 12y = 8 – 3y = – 17 Observe que: al multiplicar se juega con los signos de manera que las variables a eliminar queden con signo contrario. Al despejar la variable Ye, se obtiene su valor. y = 17 /3 Calculamos el valor de equis: 2x + 3y = 5 ( – 6) 5x + 6y = 4 ( 3 ) – 12x – 18y = – 30 15x + 18y = 12 3x = – 18 x = – 18 / 3 x = – 6 Solución: – 6 , 17/3

La prueba del sistema de ecuaciones, consiste en sustituir los valores de cada variable en ambas ecuaciones, y debe de cumplirse la igualdad. 2) 6X – 5Y = – 9 4X + 3Y = 13 3) 11X – 9Y = 2 13X – 15Y= – 2 4) 18X + 5Y = – 11 12X + 11Y= 31 5) 10X – 3Y = 36 2X + 5Y = – 4

Sistemas Compatibles e Incompatibles. Ecuaciones dependientes Método gráfico Este método consiste en dibujar la gráfica de cada ecuación en el plano cartesiano. La solución del sistema, serán las coordenadas del punto donde se cruzan las gráficas. Sistemas Compatibles e Incompatibles. Ecuaciones dependientes Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es compatible si solo tiene una solución. Por ejemplo, el sistema formado por las ecuaciones: X + Y = 10 & y = X + 4, representadas en la siguiente figura es compatible. ( figura 1 )   Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es incompatible si no tiene solución, es decir, si no existen un par de valores que las satisfacen simultáneamente. El sistema formado por las ecuaciones x + y = 3 & X + Y = 5 es incompatible. En la figura 2 obsérvese que la representación de ambas ecuaciones son dos rectas paralelas y, por consiguiente, no se cortan. Por otra parte, la suma de dos números no puede ser a la vez 3 y 5

Dos ecuaciones son dependientes si todo par de valores que satisfacen a una de ellas también satisface a la otra, por ejemplo: Las ecuaciones Y = X + 2 & 3Y = 3X + 6 son dependientes. Obsérvese que la representación de ambas es la misma recta, con lo cual, cualquier punto de una de ellas satisface a la otra. Si dos ecuaciones son dependientes, una de ellas es consecuencia de la otra. Por ejemplo, la ecuación 3Y = 3X + 6 es consecuencia de la ecuación Y = X + 2, multiplicando los dos miembros por 3.(observar la figura 3)

Procedimiento: despejamos la variable “Ye” en ambas ecuaciones Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas seguimos el proceso siguiente: Despejar en ambas ecuaciones la incógnita Ye (variable dependiente). Dándole valores a la “X” (variable independiente). Tabular dos puntos para cada ecuación. Los valores colocados en “X” son a conveniencia, dependiendo de cada ecuación. Representar las dos ecuaciones en un mismo sistema de ejes cartesianos. La solución del sistema (si existe), es el punto donde se intersectan ambas rectas. Resolver gráficamente el sistema formado por las ecuaciones: X + Y = 1 Ec1 2X + Y = 3 Ec2 Procedimiento: despejamos la variable “Ye” en ambas ecuaciones De ecuación 1: X + Y = 1 Y = 1 – X De ecuación 2: 2X + Y = 3 Y = 3 – 2X Damos valores a la variable “equis”, para encontrar el valor de la variable “Ye”. Recuerde que es conveniente trabajar por lo menos 3 puntos. El punto de intersección de ambas rectas al graficarlas en el mismo plano cartesiano, es la solución. X Y= 1 - X Coordenada del punto Y= 1 – 0 ( 0, 1 ) 1 Y= 1 - 1 ( 1, 0 ) 2 Y= 1 - 2 ( 2, - 1 ) X Y= 3 – 2X Coordenada del punto Y= 3 – 2(0) ( 0, 3 ) 1 Y= 3 – 2(1) ( 1, 1 ) 2 Y= 3 – 2(2) ( 2, - 1 )

Otros ejemplos Ejemplo 2: Resolver gráficamente el sistema formado por las ecuaciones: X + Y = 8 Ecuación 1 X - Y = 2 Ecuación 2 Procedimiento Despejamos la variable “Y” en ambas ecuaciones De ecuación 1 De ecuación 2 X + Y = 8 X – Y = 2 Y = 8 – X – Y = 2 – X Y = X - 2 Damos valores a la variable “X”, para encontrar el valor de la variable “Y”. Recuerde que es conveniente trabajar por lo menos 3 puntos. Tabulación para la ecuación Tabulación para la ecuación 2 El punto de intersección de ambas rectas al graficarlas en el mismo plano cartesiano, es la solución. X Y= 8 – X Coordenada 6 Y= 8 – 6 ( 6, 2 ) 5 Y= 8 – 5 ( 5, 3 ) 4 Y= 8 – 4 ( 4, 4 ) X Y= X – 2 Coordenada – 3 Y= – 3 – 2 ( – 3, – 5 ) 1 Y= 1 – 2 ( 1, – 1 ) 2 Y= 2 – 2 ( 2, 0 )

Damos valores a la variable “X”, para encontrar el valor de la variable “Y”. Tabulación para ecuación 1 Tabulación para ecuación 2 Se grafica para encontrar la solución Ejemplo 3: Resolver gráficamente el sistema formado por las ecuaciones: X + Y = – 4 Ecuación 1 2X – 2Y = – 4 Ecuación 2 Procedimiento: Despejamos la variable “Y” en ambas ecuaciones De ecuación 1 De ecuación 2 X + Y = – 4 2X – 2Y = – 4 Y = – 4 – X – 2Y = – 4 – 2X Y = 2 + X X Y= - 4 - X Coordenada Y= - 4 – 0 ( 0, - 4 ) - 4 Y= -4 - (-4) ( - 4, 0 ) -2 Y= -4 – (-2) ( - 2, - 2 ) X Y= 2 + X Coordenada Y= 2 + 0 ( 0, 2 ) 1 Y= 2 + 1 ( 1, 3 ) 2 Y= 2 + 2 ( 2, 4 )

Hoja de trabajo Ejercicio 1 Ejercicio 4 Sistema de ecuaciones: Sistema de ecuaciones: 10Y = 38 – 6x ecuación 1 X – 2Y = 7 ecuación 1 12Y = 48 – 6x ecuación 2 3X + Y = 35 ecuación 2 Ejercicio 2 Ejercicio 5 Sistema de ecuaciones: Sistema de ecuaciones: 3X + 10 = 5Y ecuación 1 X + Y = 6 ecuación 1 7X + 20 = – 5Y ecuación 2 X – Y = 2 ecuación 2 Ejercicio 3 Ejercicio 6 5X + 3Y = 17 ecuación 1 5X – Y = – 13 ecuación 1 X + 3Y = 1 ecuación 2 X = 2 Y + 12 ecuación 2