Apuntes de Matemáticas 3º ESO PROBABILIDAD U.D. 15 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

SUCESOS COMPUESTOS INDEPENDIENTES U.D. 15.5 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

EXPERIMENTO COMPUESTO Un experimento compuesto es el que está formado por varios experimentos simples. Ejemplos Lanzar dos monedas, o lanzar una moneda dos veces. Lanzar tres dados, o lanzar un dado tres veces. Lanzar una moneda y un dado. Lanzar dos monedas y tres dados , a la vez o en cualquier orden. Lanzar un dado y extraer dos cartas de una baraja. Extraer 2 bolas de una urna, a la vez o de una en una (sin devolución). Extraer 3 bolas de una urna, pero devolviendo a la urna la bola extraída antes de extraer la siguiente (con devolución). Rellenar una quiniela de futbol. Jugar al bingo o a la Primitiva. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

SUCESOS INDEPENDIENTES Dos sucesos A y B son independientes cuando la probabilidad de que ocurra uno de ellos no influye en que ocurra el otro. Ejemplos Lanzar dos monedas, o lanzar una moneda dos veces. Lanzar una moneda y un dado. Lanzar un dado y extraer una carta de una baraja. Extraer 2 bolas de una urna, con devolución de la primera bola extraída. Rellenar una quiniela de futbol. Jugar al bingo o a la Primitiva. En los sucesos independientes se cumple: P(A∩B)=P(A).P(B) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 1 Se lanza al aire dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos cruces?. ¿Y de obtener una cara y una cruz?. Espacio muestral: E={CC, CX, XC, XX} , vemos que se pueden producir cuatro sucesos o fenómenos compuestos. A su vez los dos sucesos son independientes. P(CC) = Sf/Sp = ¼ = 0,25 También: P(C∩C)=P(C).P(C)=0,5.0,5 = 0,25 P(XX) = Sf/Sp = ¼ = 0,25 También: P(X∩X)=P(X).P(X)=0,5.0,5 = 0,25 P(CCUXX) = Sf/Sp = 2/4 = 0,5 También: P(CCUXX)=P(CC)+P(XX)=0,25+0,25 = 0,5 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 2 Se lanza al aire dos dados exagonales. ¿Cuál es la probabilidad de obtener como suma un doce?. ¿Y de obtener un doble? ¿Y de obtener un 7 como suma? ¿Y de no obtener un 4? Los sucesos son independientes. Espacio muestral: E={36 sucesos posibles} P(S=12) = P(6∩6)=P(6).P(6) = = 1/6 . 1/6 = 0,0277 Utilizamos una Tabla de contingencia al ser numerosos los casos favorables. P(Doble) = Sf/Sp = 6/36 = 0,1667 P(S=7) = Sf/Sp = 6/36 = 0,1667 _ P(S=4 ) = 1 – P(S=4) = 1 – 3/36 = 1 – 0,0833 = 0,9167 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 3 Se lanza al aire dos dados exagonales. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos cuatros?. b) ¿Y de obtener un cuatro y un uno, en ese orden? c) ¿Y de obtener un cuatro y un uno, en cualquier orden? Espacio muestral: E={36 sucesos posibles} Los sucesos son independientes. a) Que resulten dos 4: P(4∩4)=P(4).P(4) = 1/6 . 1/6 = 1/36 = 0,0277 b) Que resulte un 4 y luego un 1: P(4∩1)=P(4).P(1) = 1/6 . 1/6 = 1/36 = 0,0277 c) Que resulte un 4 y luego un 1 o un 1 y luego un 4: P[(4∩1)U(1∩4)] = P(4).P(1) + P(1).P(4) = 1/6.1/6 + 1/6.1/6 = = 1/36 + 1/36 = 0,0556 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 4 En una urna opaca hay 6 bolas Blancas y 4 Negras. Se extraen dos bolas al azar con reinserción. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea B y la segunda N?. b) ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos sean N? c) ¿Y de que una sea B y otra N?. Espacio muestral: E={B,B,B,B,B,B,N,N} Al ser con reinserción, devolviendo la bola a la urna tras mirar su color, los sucesos “color de la primera bola” y “color de la segunda bola” son independientes. a) P(B∩N) = P(B).P(N) = 6/10. 4/10 = 24/100 = 0,24 b) P(N∩N) = P(N).P(N) = 4/10 . 4/10 = 16/100 = 0,16 c) P[(B∩N)U(N∩B)] = P(B∩N) + P(N∩B) = P(B).P(N) + P(N).P(B) = = 6/10 . 4/10 + 4/10 . 6/10 = 0,6.0,4 + 0,4.0,6 = 0,24 + 0,24 = 0,48 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 5 En una urna opaca hay 2 bolas Blancas, 3 Azules y 4 Negras. Se extraen dos bolas al azar con reinserción. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea B y la segunda N?. b) ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos sean A? c) ¿Y de que una sea A y otra N?. Espacio muestral: E={B,B,A,A,A,N,N} Al ser con reinserción, devolviendo la bola a la urna tras mirar su color, los sucesos “color de la primera bola” y “color de la segunda bola” son independientes. a) P(B∩N) = P(B).P(N) = 2/9 . 4/9 = 8/81 = 0,09876 b) P(A∩A) = P(A).P(A) = 3/9 . 3/9 = 9/81 = 1/9 = 0,1111 c) P(ANUNA) = P(A∩N) + P(N∩A) = P(A).P(N) + P(N).P(A) = = 3/9 . 4/9 + 4/9 . 3/9 = 12/81 + 12/81 = 24/81 = 8/27 = 0,2963 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo 6 Lanzamos un dado tetraédrico ( 4 caras) y luego extraemos una carta al azar de una baraja española. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3 y un rey?. b) ¿ Cuál es la probabilidad de obtener un 4 y un oro? c) ¿Y de obtener un número impar y el as de copas?. d) ¿Y de obtener un caballo?. Los sucesos “resultado del dado” y “carta de la baraja” son independientes. a) P(3∩R) = P(3).P(R) = 1/4 . 4/40 = 4/160 = 0,025 b) P(4∩O) = P(4).P(O) = 1/4 . 10/40 = 10/160 = 0,0625 c) P(I∩Ac) = P(I).P(Ac) = 2/4 . 1/40 = 2/160 = 0,0125 d) P(E∩Ca) = P(E).P(Ca) = 1 . 4/40 = 1/40 = 0,025 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Probabilidad compuesta Siempre que en un experimento compuesto nos pidan la probabilidad de que se cumplan dos (o más) sucesos: P(A y B) = P(A∩B)= P(A).P(B) Es la llamada Regla del producto. Siempre que en un experimento compuesto nos pidan la probabilidad de que se cumpla alguno de los dos (o más) sucesos: P(A o B) = P(AUB)= P(A)+P(B) Es la llamada Regla de la suma. Para el cálculo de probabilidades en experimentos compuestos se puede utilizar el diagrama del árbol, el cual es imprescindible cuando el experimento presenta cierta complejidad. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO