SEMEJANZA U. D. 7 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TEOREMA DE THALES U. D. 7.3 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Teorema de Thales Teorema de Thales Si dos rectas secantes se cortan por dos o más rectas paralelas, los segmentos correspondientes que determinan sobre las rectas secantes son proporcionales. De igual manera los triángulos que se originan son semejantes, pues sus lados son proporcionales y sus ángulos iguales. Los triángulos ROJO, AZUL y CRIS son semejantes. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Teorema de Thales A A’ B B’ C C’ Por el Teorema de Tales: AB BC AC Los segmentos que determinan las tres rectas paralelas sobre las rectas secantes son proporcionales. En el ejemplo de la figura: 2,5 2,5 5 ----- = ----- = ----- 2 2 4 1,25 = 1,25 = 1,25 A A’ B B’ C C’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Triángulos en posición de Tales Triángulos en posición de Thales C = C’ = C” En Tales se originan los siguientes triángulos: ABC , A’B’C’ y A”B”C” Los ángulos correspondientes son iguales: A=A’=A” ; B=B’=B” ; C=C’=C” Y como los lados son proporcionales, podemos concluir que dos o más triángulos en posición de Tales son semejantes. Dos o más triángulos están en posición de Tales cuando tienen un ángulo común (C) y los lados opuestos (AB, A’B’, A”B”) son paralelos. A” B” B’ A’ A B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Problema_1 Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio son de 0,5 m y de 8,4 m respectivamente. Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados están en posición de Tales y son semejantes: 1 0,5 --- = ------  0,5. h = 8,4  h = 16,8 m h 8,4 h 1 m s S @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Problema_2 Hallar la distancia entre las cúspides de dos edificios para poder construir una pasarela entre ambos. 24 m 24 m 60 m @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Lo primero es idealizar el problema: Resolución: Lo primero es idealizar el problema: Los triángulos ABC y A’B’C son semejantes por estar en posición de Tales. Conocemos: CA’=60 m, A’ = 24 m, AB = 24 m Deducimos, por si lo necesitamos CA=CA’ – AA’ = 60 – 24 = 36 m Por el Teorema de Tales: CA CB ------ = ------ AA’ BB’ Por Pitágoras: CB = √ (CA2 + AB2) = = √ (362 + 242) = 43,25 m Volviendo al T. de Tales: 36 43,25 ------ = -------- 24 BB’ Operando: BB’ = 28,83 m B’ B 24 m 24 m A’ 60 m A C=C’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TRIÁNGULOS SEMEJANTES Dos triángulos serán semejantes si presentan igualdad de formas pero distintas medidas en los lados. En otras palabras, si sus lados son proporcionales y sus ángulos correspondientes iguales. La razón de proporcionalidad de sus lados o razón de semejanza es: a’ b’ c’ r = ---- = ---- = ----- a b c a a’ b b’ c c’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TRIÁNGULOS SEMEJANTES CRITERIO GENERAL Dos triángulos serán semejantes si presentan igualdad de formas pero distintas medidas en los lados. En otras palabras, si sus lados son proporcionales y sus ángulos correspondientes iguales. C’ Tenemos que se cumple, de entrada: a b c ---- = ---- = ---- a’ b’ c’ Sobre el lado A’B’ del triángulo A’B’C’ se lleva el segmento AB y se traza una paralela al segmento C’A’. Al estar ambos triángulos en posición de Tales, sus ángulos son iguales y por lo tanto son semejantes. C a a’ b C b’ A B c A A’ B’ c’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

CRITERIOS DE SEMEJANZA CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS: 1.- Tienen los lados proporcionales. La razón de proporcionalidad o de semejanza, por ejemplo, es: a b c r = ---- = ---- = ----- a’ b’ c’ 2.- Tienen dos ángulos correspondientes iguales. Es decir: A=A’ y B=B’, B=B’ y C = C’ o C=C’ y A=A’ Consecuencia: Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el tercer ángulo también será igual. 3.- Tienen un ángulo correspondiente igual y los lados que lo forman son proporcionales. De entrada sabemos que A=A’ y que se cumple: b c --- = ---- b’ c’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

POLÍGONOS SEMEJANTES Todo polígono se puede dividir en triángulos. Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados son proporcionales. Dos polígonos serán semejantes si tienen los lados correspondientes proporcionales y los ángulos correspondientes iguales. a b c d --- = --- = --- = --- = r a’ b’ c’ d’ A=A’ , B=B’ , C=C’ , D=D’ A c D d b B a C A’ c’ D’ d’ b’ B’ a’ C’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

POLÍGONOS SEMEJANTES Cualquier polígono se puede trocear, dividir, en triángulos. Aplicando Thales podemos construir triángulos semejantes a los que tenemos. Si la razón de semejanza utilizada es la misma en todos los triángulos, el resultado es un polígono semejante al original. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Rectángulos SEMEJANTES Dividimos el rectángulo en dos triángulos, gracias a la diagonal. Llevamos sobre la prolongación de un lado la medida del lado correspondiente que deseamos construir. Y construimos el rectángulo semejante mediante paralelas a los lados. B’ C’ C B B’’ C’’ A D’’ D D’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Trapezoides SEMEJANTES Dividimos el trapezoide en dos triángulos, gracias a la diagonal. Llevamos sobre la prolongación de un lado la medida del lado correspondiente que deseamos construir. Y construimos el trapezoide semejante mediante paralelas a los lados. B’ B C C’ A D D’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Pentágonos SEMEJANTES C’ C D’ B’ B D E’ E A @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.