Apuntes 2º Bachillerato C.T. VECTORES EN EL ESPACIO U.D. 9 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. VECTORES EN EL ESPACIO U.D. 9.2 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. NOMENCLATURA El conjunto de todos los puntos del espacio es R3 El conjunto de todos los vectores fijos del plano es F3 El conjunto de todos los vectores libres del plano es V3 V3 es un subconjunto de F3 BASE CANÓNICA Base canónica de V3 es el conjunto formado por tres vectores perpendiculares de módulo la unidad, que representamos por B=(i, j, k), es decir i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0), k=(0, 0, 1) COORDENADAS DE UN VECTOR LIBRE Sea B=(i, j, k) una base canónica del plano y v un vector cualquiera de V3 , se llaman coordenadas cartesianas del vector v a la terna de números (x, y, z) tales que permiten expresar al vector v como combinación lineal de los vectores de la base que forma: v=xi+yj+zk @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Coordenadas cartesianas Un sistema de coordenadas cartesianas en V3 está formado por: Tres rectas perpendiculares entre si y graduadas, dos horizontales y otra vertical, que se llaman ejes de coordenadas. La unidad del eje OX es el vector i. La unidad del eje OY es el vector j. La unidad del eje OZ es el vector k. Los ejes de coordenadas dividen el espacio en ocho zonas o regiones llamados OCTANTES. Cada zona queda definida por el signo de los coeficientes (x, y, z) de los vectores de base canónica: (x, y, z) = (+, +, +), (+, +, -), (+, -, +), (-, +, +), (+, -, -), (-, +, -), (- , -, +) y (-, -, -). P z v -x y k j O i -y x v = xi + yj + zk -z @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Regiones espaciales Cualquier punto P del espacio tridimensional, de R3 tiene un único vector fijo asociado al punto llamado Vector de posición, cuyo punto de aplicación es el origen de coordenadas O(0, 0, 0). Ejemplos: v1 = 3i + 4j + 5k v2 = 3i + 4j – 5k v3 = 3i – 4j + 5k v4 = – 3i + 4j + 5k v5 = 3i – 4j – 5k v6 = – 3i – 4j + 5k v7 = – 3i + 4j – 5k v8 = – 3i – 4j – 5k P z v -x y k j O i -y x -z @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. NOMENCLATURA Sea v un vector libre en V3. Y sea P cualquier punto en R3 Ya hemos dicho que existe un único representante de v con origen en P. Sea O un punto fijo del espacio llamado origen de coordenadas. CORRESPONDENCIA A cada punto P del plano se le hace corresponder de modo único un vector v = OP, que llamamos vector de posición. A cada vector v del espacio, en V3 se le hace corresponder de modo único un punto P, de forma que OP=v SISTEMA DE REFERENCIA EUCLÍDEO Se llama sistema de referencia euclídeo del espacio a R=(O, i, j) donde: O es un punto cualquiera llamado origen de coordenadas. B=(i, j, k) es la base canónica de V3. También se llama se llaman sistema de referencia ortonormal. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. SUMA DE VECTORES Sea cual sea la base, canónica o no, se establecen dos operaciones fundamentales con vectores: Suma de vectores y Producto de un número por un vector. SUMA DE VECTORES Sea el vector v= (x,y, z) y el vector u= (x’,y’, z’) La suma será: S = v+u = (x,y, z)+(x’,y’, z’) = (x+x’, y+y’, z+z’) EJEMPLO_1 Sea el vector v= (3, 4, -1) y el vector u= (2, -7, -3) La suma será: S = (3+2, 4 – 7, – 1 – 3 ) = (5, – 3, – 4) EJEMPLO_2 Sea el vector v =(- 3, 2, 7) , el vector u =(5, - 7, 3) y el vector w =(1, - 7, 4). La suma será: S = (-3+5+1, 2 – 7 – 7, 7+3+4 ) = (2, - 12, 14) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

PRODUCTO DE N POR UN VECTOR PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR Sea el vector v= (x,y) y el número real k K.u = k(x, y) = (kx, ky) EJEMPLO_1 Sea el vector u= (2, - 4, 7) y k = 3 k.u = 3.(2, - 4, 7) = (6, - 12, 21) EJEMPLO_2 Sea el vector v= (– 3 , 0, 0) y k = – 2 k.v = (– 2).(– 3, 0, 0) = (6, 0, 0) EJEMPLO_3 Sea el vector w= (1, – 5, – 2) y k = – 1 k.w = (– 1). (1, – 5, – 2) = (–1, 5, 2) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

PROPIEDADES OPERATIVAS ASOCIATIVA u+(v+w)=(u+v)+w Ejemplo: (1,1,1)+[(1,2,1)+(1,1,2)] = [(1,1,1)+(1,2,1)]+(1,1,2)   (1,1,1)+[(2,3,3)] = [(2,3,2)]+(1,1,2)  (3,4,4) = (3,4,4) COMMUTATIVA u+v=v+u (-1,1,-3)+(1,-2,4) = (1,-2,4)+(-1,1, -3)  (0, -1, 1) = (0, -1, 1) ELEMENTO NEUTRO u+0=u (3, -5, 7)+(0, 0, 0) = (3+0, -5+0, 7+0) = (3, -5, 7) ELEMENTO OPUESTO u+(-u)=0 (3, -5, 7)+(-3, 5, -7) = (3 -3, -5+5, 7 – 7) = (0, 0, 0) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

PROPIEDADES OPERATIVAS DISTRIBUTIVA RESPECTO A LA SUMA k.(u+v) = ku + kv Ejemplo: 3.[(1,2,1)+(1,1,2)] = 3.(1,2,1)+3.(1,1,2)   3.(2,3,3) = (3, 6, 3)+(3, 3, 6)  (6, 9, 9) = (6, 9, 9) DISTRIBUTIVA RESPECTO A COEFICIENTES (m+n)u = mu+un (3 – 5).(–1, 2, – 3) = 3.(–1, 2, – 3) + (–5).(–1, 2, – 3)   (– 2).(–1, 2, – 3) = (–3, 6, – 9) + (5, –10, 15)  (2, – 4, 6) = (2, – 4, 6) ASOCIATIVA m(nu)=(m.n)u (– 5).[(–1)(4, 2, – 3)] = [(–5).(– 1)].(4, 2, – 3)  (– 5).(– 4, – 2, 3) = 5.(4, 2, – 3)  (20, 10, – 15) = (20, 10, – 15) ELEMENTO NEUTRO 1u=u @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. MÓDULO MÓDULO Módulo de un vector v , |v|, es su longitud. |v|=√(x2+y2) , en el plano. En el espacio, aplicando sucesivamente Pitágoras, tal como haríamos al calcular la diagonal de un prisma recto: |v|=√(x2 + y2 + z2). P z v -x y k j O i -y x -z @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. VECTOR UNITARIO VECTOR UNITARIO Llamamos vector unitario aquel cuyo módulo mide la unidad. Si tenemos: v=xi + yj + zk Sabemos que: |v|=√(x2 + y2 + z2) El vector unitario u, sde la misma dirección y sentido que v, sería: x y z u= ----- .i + ----- .j + ------ .k |v| |v| |v| Comprobando: |v’|= √([x/√(x2 + y2 + z2)] 2 + √ [y/√(x2 + y2 + z2)] 2 + + √ [z/√(x2 + y2 + z2)] 2 ) = √((x2 + y2 + z2)/(x2 + y2 + z2)] = √1 = 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Ejemplos Ejemplo 1 Hallar el vector unitario de: v=3i + 4j + 12k Resolución Sabemos que: |v|=√(x2 + y2 + z2) |v|=√(32 + 42 + 122)=√169 = 13 El vector unitario sería: v’= (3/13)i + (4/13)j + (5/13)k Ejemplo 2 v=5i – 12k |v|=√(52 + 02 + 122)=√169 = 13 v’= (5/13)i – (12/13)k Ejemplo 3 Hallar el vector unitario de: v= 6j + 8k Resolución |v|=√(02 + 62 + 82)=√100 = 10 El vector unitario sería: v’= (6/10)j + (8/10)k Ejemplo 4 v=i – j – k |v|=√(12 + (-1)2 + (-1)2)=√3 v’= (1/√3)i – (1/√3)j – (1/√3)k Racionalizando denominadores: v’= (√3/3)i – (√3/3)j – (√3/3)k @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.