Modelos de probabilidad Distribuciones continuas CLASE 8 Modelos de probabilidad Distribuciones continuas

Distribución uniforme Diremos que X se distribuye UNIFORMEMENTE en [a, b] y lo representamos X~U([a, b]) cuando su función densidad es: La función distribución será:

Distribución uniforme

Distribución uniforme Características: Dem:

Distribución uniforme Ejemplo: El tiempo en minutos que tarda alguien para ir de un casa al trabajo oscila entre 20 y 30 minutos. Si debe llegar al trabajo a las 8 de la mañana ¿a qué hora debe salir para tener una probabilidad de 0,90 de no llegar tarde?

Función Gamma Se puede demostrar que la integral es convergente si t >0 Definimos para cada t > 0 la FUNCIÓN GAMMA como aquella que toma el valor de la integral:

Función Gamma TEOREMA: Dem:

Función Gamma TEOREMAS : Dem:

La distribuución GAMMA Función densidad y propiedades Decimos que una variable aleatoria X tiene una distribución GAMMA con parámetros α y λ (α>0, λ>0) y la representamos como X~ G(α, λ) si su función densidad es: ¿es una función densidad? demostrar

La distribuución GAMMA Teorema Si f(x) es la función densidad de una variable X~ G(α, λ) entonces: 1) Si α≤1 f es monotona decreciente en (0,+∞) 2) Si α>1 f tiene un máximo en que será, por lo tanto el valor de la moda

La distribuución GAMMA Características de la distribución GAMMA Dem:

La distribución exponencial Decimos que una variable aleatoria X sigue una distribución EXPONENCIAL Con parámetro λ (λ>0) y la representamos X ~Exp(λ) cuando X es una variable Aleatoria Gamma con parámetros Por lo tanto su función densidad es: Ejercicio: Obtener la función distribución

La distribución exponencial

La distribución exponencial Características de la distribución EXPONENCIAL

La distribución exponencial Teorema FALTA DE MEMORIA Dem:

Relación entre la distribución gamma y la Poisson TEOREMA Sea Zn = “tiempo transcurrido hasta la ocurrencia de n acontecimientos” n=1,2… Si las ocurrencias de los acontecimientos siguen un proceso de Poisson de parámetro λ. Entonces: Zn ~ G(n, λ) n=1,2,….

Relación entre la distribución gamma y la Poisson Ejemplo: El número de clientes que visitan un gran supermercado sigue un proceso de Poisson de parámetro λ=4 (el tiempo se mide en minutos). Queremos conocer la probabilidad de que pase más de un minuto hasta la llegada de dos clientes,

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Definición: Decimos que una variable aleatoria X sigue una distribución NORMAL con parámetros μ y σ2 y lo representamos X ~N(μ ,σ2) cuando su función densidad es de la forma:

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL NORAMAL ESTÁNDAR O TÍPICA La variable normal con con parámetros μ = 0 y σ2 = 1 es llamada distribución normal estándar o típica. La representamos X ~N(0 ,1) y su función densidad es de la forma: Comprobar que es una función densidad

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Características de la distribución normal estándar La función posee las siguientes propiedades: 1) f es simétrica con respecto a x = 0, pues f(x)=f(-x) para todo x real 2) f tiene un máximo en x = 0 y vale 3) f es creciente para x<0 y decreciente para x>0 4) Los puntos de abscisa 1 y -1 son de inflexión de f 5) La recta y= 0 es asíntota de f

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL La función DISTRIBUCIÓN de una variable normal se representa como:

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL La distribución normal estándar verifica: 1) 2) Las rectas y = 0, y = 1 son asíntotas de la función pues: Pero además con f(x)>0 entonces nunca

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Existen tablas para el cálculo de la distribución de la normal estándar. Allí podemos ver que: Para usar las tablas debemos tener presente siempre la siguiente propiedad: Pues en la tabla solo aparecen los valores mayores o iguales a 0 y menores o iguales que 4 Calcula utilizando las tablas:

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL En la distribución normal estándar coinciden la esperanza, la moda y la mediana.

Características de la distribución normal estándar Dem:

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Consideremos la función: Comprobemos primero que es una función densidad

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Estudio de la distribución normal general La función posee las siguientes propiedades: 1) f es simétrica con respecto a x = μ, pues f(μ +x)=f(μ -x) para todo x real 2) f tiene un máximo en x = μ y vale 3) f es creciente para x< μ y decreciente para x> μ 4) Los puntos de abscisa μ-σ y μ –σ son de inflexión de f 5) La recta y= 0 es asíntota de f

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL TEOREMA Dem:

Todas las distribuciones normales son similares salvo traslación y cambio de escala:

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL Sea X~N(30,9) Calcular P(X<21)

Características de la distribución normal en general Dem: En la distribución normal coinciden la esperanza, la moda y la mediana y su valor es μ

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL La altura de los individuos en edad militar de un determinado país sigue una distribución normal con media 170 cm y varianza 100 cm. a) Hallar la proporción de individuos que miden menos de 150cm o más de 200cm. b) Si no se admiten en el servicio militar todos los individuos cuya talla dista más de 30 c de la talla media, hallar la proporción de personas que Es rechazada. c) Por razones presupuestarias se decide con el anterior criterio no admitir un 20% de los individuos en edad militar, ¿Qué límites de altura hay que poner?

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL EJERCICIO DE EXAMEN SETIEMBRE 2014 La vida útil de las baterías de los celulares marca Tarzán se distribuye normal. Según los registros de la oficina de control de calidad, el 20,233 % de las baterías duran como mínimo 4 años, y sólo 4,779 % de las baterías tienen una vida útil de más de 5 años. Se pide: A) Hallar el número esperado, µ, y el desvío estándar, s, de la vida útil de las baterías de los celulares marca Tarzán ( en años ). B) Calcular la probabilidad de que una batería dure más de 42 meses. C) Se desea determinar el tiempo de garantía, k, de las baterías. Según el departamento de finanzas, sólo el 10 % de las baterías pueden fallar antes del tiempo de garantía, k. Determinar el valor de k ( en meses ). D) Una caja contiene 24 celulares de la marca Tarzán. Hallar la probabilidad de que el tiempo de vida de 2 o más baterías duren menos del tiempo de garantía.

TEOREMA: Cualquier combinación lineal de variables aleatorias normales e independientes sigue una distribución Normal:     Dem.:

  Dem: a cargo del estudiante