LA DERIVADA Autor: Victor Manuel Castro González Carrera: Ingeniería Industrial Instituto: Univa Zamora Fecha:13/Febrero/2008 Victor Manuel Castro González

Definición de límite Se dice que si para cada número positivo por pequeño que este sea, es posible determinar un número positivo , tal que para todos los valores de x , diferentes de b , que satisfacen la desigualdad se verificará la desigualdad             .  ,

Cálculo De Limites En general calcular el límite de una función "normal", cuando x tiende a un número real, es fácil, basta aplicar las reglas de cálculo indicadas, sustituyendo la variable independiente por el valor real al que la x tiende. No obstante, en ocasiones, nos podemos encontrar con sorpresas, por ejemplo, que la función no esté definida para el valor en el que queremos calcular el límite . Esta situación, es habitual, cuando el límite lo queremos calcular cuando x tiende a infinito. Una función no está definida en un punto, siempre que al intentar calcularla en ese punto, resulte alguna de las formas siguientes:

Continuidad una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir que se puede dibujarla sin levantar el lápiz del papel, como en la figura de la izquierda. El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe. El intervalo J de y es el codominio (también conocido como contradominio, rango o imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). El mayor elemento de J' se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.

LA DERIVADA la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cuál separa las matemáticas previas, como álgebra, trigonometría o geometría analítica, del cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del cálculo infinitesimal.

La derivada de una función en un punto mide el coeficiente por cual el valor de la función cambia. Es decir, que una derivada provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio equivale a decir que tan rápido crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) a lo largo del eje x en un plano cartesiano de dos dimensiones, es decir, la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. La curva de la función está dibujada en negro. La tangente a la curva está dibujada en rojo. La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la tangente

DERIVADA COMO LIMITE En terminología algo anticuada, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad "y" cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad "x" con la que tiene una relación funcional. Usando el símbolo "Δ" para referirse a tal cambio, se define tal coeficiente como el límite del cociente Δx / Δy cuando Δx tiende (o se aproxima) a cero. En la notación de Leibniz, se escribe la derivada de y con respecto a x como sigue: dy / dx Esta notación depende del nombre de la función y su variable. En este caso, la función se llama "y", y la variable "x", como generalmente se designa. Esta notación sugiere la razón de dos cantidades infinitesimales.

Interpretación Geométrica De La Derivada Es importante entender qué es una función matemática para hablar de derivadas. Una ecuación que relaciona dos variables x e y puede entenderse como una función, siempre y cuando a cada valor de x le corresponda uno y solamente un valor de y. La correspondencia entre estas dos variables se puede abstraer mediante parejas (x,y), donde y es el valor numérico que resulta de evaluar la ecuación usando algún número x. Tales parejas se pueden interpretar como puntos geométricos en un plano cartesiano de manera que, al graficar muchos puntos, se obtiene un dibujo que representa la función. Por ejemplo, dada la función , las parejas se obtienen dando valores arbitrarios a x y calculando y como se muestra en la siguiente tabla: Definición Geométrica: Es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto específico de ella.

Interpretación Física De La Derivada Supóngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal forma que su posición S en cada instante t es una función S = f (t).  En el instante t = c, el objeto está en f (c).  En el instante próximo t = c + h, el objeto está en f (c + h) Por lo tanto, la velocidad promedia durante este intervalo es:   Se define la velocidad instantánea V en el instante t = c asi: 

Notación De Las Derivadas Si es una función derivable en un intervalo el proceso por medio del cual se obtiene f´(x), da origen a una nueva función que recibe el nombre de función derivada. El dominio de f´(x) está formado por todos los números del dominio de f para los que exista f´(x) Por ejemplo, si con entonces está definida únicamente para  

CÁLCULO DE DERIVADAS Derivada de una función constante Sea una función constante f(x) = C. Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x).     f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que Luego la derivada de una constante es siempre cero

Aplicación física de la derivada Consideremos la función espacio E = E(t).   La tasa de variación media de la función espacio en el intervalo [t0, t]  es: Que es lo que en Física llaman la  velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces: “La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea”.