MATRICES U.D. 1 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

PRODUCTO DE MATRICES U.D. 1.5 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

PRODUCTO DE MATRICES Para multiplicar una matriz fila de tamaño 1xn por una matriz columna de tamaño nx1, se van multiplicando elemento a elemento y sumando los resultados parciales, de modo que el resultado final es un número real. Ejemplo_1 d ( a b c ) e = a.d + b.e + c.f f Ejemplo_2 4 4.2 4.5 4.(-7) 8 20 -28 -3 ( 2 5 -7 ) = -3.2 -3.5 -3.(-7) = -6 -15 21 1 1.2 1.5 1.(-7) 2 5 -7 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Producto: DEFINICIÓN Dadas dos matrices A y B de tamaño mxn y nxp respectivamente, dos matrices en que el nº de columnas de la 1ª coincide con el nº de filas de la 2ª, se llama matriz producto A.B a una nueva matriz en la que el elemento de lugar (i,j) se obtiene multiplicando la matriz fila i de A por la matriz columna j de B. El resultado es una matriz de tamaño mxp. a d . b e c f 2a+3b+4c 2d+3e+4f = 5a+6b+7c 5d+6e+7f 2 3 4 5 6 7 Una matriz [2x3] multiplicada por otra [3x2] da por resultado una [2x2] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplo -1 2 . 4 3 -2 -5 2(-1)-3.4+4(-2) 2.2-3.3+4(-5) = -1 2 . 4 3 -2 -5 2(-1)-3.4+4(-2) 2.2-3.3+4(-5) = -5(-1)+6.4-1(-2) -5.2+6.3-1(-5) 2 -3 4 -5 6 -1 -2-12-8 4-9-20 = 5+24+2 -10+18+5 -22 -25 = 31 13 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Propiedades del PRODUCTO Asociativa: A.(B.C) = (A.B).C No es conmutativa: A.B <> B.A Tiene elemento neutro (La matriz unidad, I). Distributiva respecto a la suma: A.(B+C) = A.B+A.C Elemento inverso: Sólo las cuadradas pueden tenerlo, y no siempre. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplo de propiedad anticommutativa del producto 8 17 = 26 53 1 2 4 5 4 7 2 5 32 43 = 22 29 7 2 5 1 2 4 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

POTENCIA DE UNA MATRIZ A2 = A.A A3 = A2 .A A4 = A3 .A An = An – 1 . A 1 0 Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz A = 1 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplo de potencias de matrices 2 1 0 1 0 1 0 A = = 1 1 1 1 2 1 3 1 0 1 0 1 0 A = = 2 1 1 1 3 1 4 n ¿Qué valdrá A ? ¿ Y A ? @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.