SECCIONES, DESARROLLOS Y TRANSFORMADAS SOLIDOS II SECCIONES, DESARROLLOS Y TRANSFORMADAS

Ejercicio Nº1 Dado el tetraedro de la figura hallar la sección producida por el plano Δ1- Δ2. Así como su verdadera magnitud.

Paso 1.- Como la traza Δ1 corta a la arista A’-B’ en el punto 1’ se lleva 1’’ sobre A’-B’’ y tenemos un punto de la sección.

Paso 2.- A continuación hacemos pasar por la arista V’’-A’’ un plano auxiliar proyectante que corta a V’-A’ en el punto 2’ a continuación obtenemos 2’’.

Paso 3.- A continuación repetimos el mismo procedimiento con la arista V’’- C’’ un plano auxiliar proyectante que corta a V’- C’ en el punto 3’ a continuación obtenemos 3’’.

Paso 4.- Como la traza Δ1 corta a la arista C’-B’ en el punto 4’ se lleva 4’’ sobre C’’-B’’ y tenemos el ultimo punto de la sección.

Paso 5.- Unimos los puntos 1’-2’-3’-4’ y obtenemos la proyección horizontal de la sección, si unimos 1’’-2’’-3’’-4’’ se obtiene la proyección vertical de la sección con las aristas vistas y ocultas.

Paso 6.- Abatimos el punto 3’-3’’ en el punto (3).

Paso 7.- Hallamos el punto (2) por afinidad y los puntos 1 y 2 son puntos dobles por encontrarse sobre el eje.

Paso 8.- Unimos y tenemos la sección en verdadera magnitud

Ejercicio Nº 2 Dado el tetraedro de la figura hallar la sección producida por el plano Δ1- Δ2. Así como su verdadera magnitud.

Paso 1.- Hacemos pasar por la arista V’’-C’’ un plano auxiliar proyectante que corta a V’-C’ en el punto 1’ a continuación obtenemos la proyección vertical 1’’.

Paso 2.- A continuación repetimos el mismo procedimiento con la arista V’’- B’’ un plano auxiliar proyectante que corta a V’- B’ en el punto 2’ a continuación obtenemos la proyección vertical 2’’.

Paso 3.- A continuación repetimos el mismo procedimiento con la arista V’’- A’’ un plano auxiliar proyectante que corta a V’- A’ en el punto 3’ a continuación obtenemos la proyección vertical 3’’.

Paso 4.- Unimos los puntos 1’-2’-3’ y obtenemos la proyección horizontal de la sección, si unimos 1’’-2’’-3’’ se obtiene la proyección vertical de la sección con las aristas vistas y ocultas.

Paso 5.- Abatimos el plano sobre el horizontal y obtenemos la traza abatida (Δ1).

Paso 6. - Abatimos el punto 1’-1’’ en el (1) Paso 6.- Abatimos el punto 1’-1’’ en el (1).Por 1’ trazamos una paralela y una perpendicular, a la traza horizontal Δ1 la paralela hasta que corte a la LT, desde el punto de intersección una perpendicular a Δ1 que corta a la traza abatida (Δ1) y después una paralela a Δ1 que corta a la perpendicular en el punto abatido (1).

Paso 7. - Abatimos el punto 2’-2’’ en el (2) Paso 7.- Abatimos el punto 2’-2’’ en el (2).Por el mismo procedimiento que el punto.

Paso 8. - Abatimos el punto 3’-3’’ en el (3) Paso 8.- Abatimos el punto 3’-3’’ en el (3). Por el mismo procedimiento que el punto. (1) y (2).

Paso 9.- Unimos los puntos (1)-(2)-(3) y obtenemos la sección en verdadera magnitud.

Ejercicio Nº 3.- Dado un prisma hexagonal regular apoyado en el PH y paralelo al PV con sus aristas laterales paralelas a la recta r’-r’’, la base se encuentra inscrita en el circulo de centro O’ y tiene un vértice en el punto A’ su altura h=40 mm. Hallar la sección producida por un plano de canto (perpendicular al PV) Δ1-Δ2, así como el desarrollo.

Paso 1.- Construimos el hexágono de la base a partir del punto A’.

Paso 2.- Llevamos los vértices de la base A’- B’- C’- D’- E’- F’ sobre la LT obteniendo la proyección vertical de los mismos A’’- B’’- C’’- D’’- E’’- F’’. Por los puntos trazamos las paralelas a la recta dada r’-r’’ y obtenemos las aristas del prisma.

Paso 3.- Trazamos una paralela a la LT a una distancia de 40 mm que es la altura del prisma y obtenemos la base superior G’’- H’’- I’’- J’’- K’’- L’’.

Paso 4.- Llevamos los vértices de la base superior sobre la proyección horizontal del prisma y obtenemos G’- H’- I’- J’- K’- L’ que son las proyecciones horizontales de los vértices.

Paso 5.- Borramos la parte de las aristas que sobran y vemos las aristas que son oculta en la proyección horizontal.

Paso 6.- Hallamos la intersección del plano Δ1-Δ2 con la proyección vertical del prisma 1’’-2’’-3’’-4’’-5’’-6’’ a continuación hallamos la proyección horizontal 1’-2’-3’-4’-5’-6’.

Paso 7.- Abatimos la sección sobre el plano Horizontal, hacemos centro en el punto P y radio hasta 1’’-2’’-3’’-4’’-5’’-6’’, trazamos arcos de circunferencia hasta la LT a continuación perpendiculares después desde 1’-2’-3’-4’-5’-6’ paralelas a la LT que determinan la intersección con las perpendiculares los puntos (1)-(2)-(3)-(4)-(5)-(6), que nos determina la sección en verdadera magnitud.

Paso 8.- Unimos los puntos (1)-(2)-(3)-(4)-(5)-(6), y tenemos la sección en verdadera magnitud.

Paso 9.- Por el punto 1 trazamos una horizontal y una vertical.

Paso 10.- Desde el punto 1 trazamos una paralela a una distancia 1-6 igual a (1)-(6). ∞

Paso 11.- Continuamos llevando el resto de las medidas 6-5, 5-4, 4-3, 3-2 y 2-1, que son iguales que las de la sección en verdadera magnitud.

Paso 12.- Sobre la perpendicular trazada por el extremo 1 llevamos la medida del trozo de la arista 1-A igual a 1’’-A’’ seguidamente llevamos las otras medidas de las aristas 6-F,5-E,4-D,3-C que son iguales a 6’’-F’’,5’’-E’’,4’’-D’’,3’’-C’’ y 2’’-B’’, y en el extremo volvemos a llevar 1-A .

Paso 13.- A continuación llevamos a partir de A, F, E, D, C, B y A la distancia de 60 mm que es lo que mide la arista vertical del prisma obteniendo los puntos de los vértices superiores G, L, K, J, I, H y G.

Paso 14.- Unimos los vértices y tenemos el desarrollo del prisma, construimos dos hexágonos regulares sobre uno de los lados y tenemos las bases del prisma y el desarrollo total.

Ejercicio Nº 4 Dado un prisma triangular apoyado en el PH y oblicuo a los planos de proyección. Hallar la sección producida por un plano oblicuo Δ1-Δ2, así como el desarrollo.

Paso 1.- vamos a resolver el problema mediante un cambio de Plano para lo cual la nueva LT será perpendicular a la traza horizontal y el plano será proyectante.

Paso 2.- Por un punto cualquiera de la traza vertical trazamos una perpendicular a la LT y a continuación perpendicular a la nueva LT y llevamos la cota del punto unimos con la traza horizontal y tenemos la nueva traza vertical.

Paso 3.- Hallamos la nueva proyección vertical, trazamos una paralela a la nueva LT a 53,25 mm y llevamos los vértices de las bases y unimos.

Paso 4.- Hallamos la sección producida 11’-21’-31’ ; 1’-2’-3’.

Paso 5.- Hallamos la verdadera magnitud de la sección.

Paso 6.- Vamos hallar el desarrollo del prisma, trazamos una recta cualquiera tomamos un punto 1 y llevamos la distancia 1-2 = 11’-21’ de la sección en verdadera magnitud a continuación 2-3 = 21’-31’ y 3-1 = 31’-11’ por estos puntos trazamos perpendiculares a la recta.

Paso 7- Llevamos las distancias 1-A = 11’-A1’ hacia la parte inferior y 1-D = 11’-D1’ hacia la parte superior y a continuación 2-B = 21’-B1’ hacia la parte inferior y 2-F = 21’-F1’ hacia la parte superior y 3-C = 31’-C1’ hacia la parte inferior y 3-E = 31’-E1’ hacia la parte superior y 1-A = 11’-A1’ hacia la parte inferior y 1-D = 11’-D1’ hacia la parte superior

Paso 8.- Unimos los vértices y trazamos las bases y tenemos el desarrollo del prisma.

Ejercicio Nº 5 Hallar las proyecciones de un prisma cuadrangular recto de aristas paralelas a la línea de tierra. La base esta formada por los puntos A( 2; 3;5), B( 2; 5;4), C( 2; 6;3), D( 2; 4;1). Altura del prisma 100 mm. 1).- Hallar la sección producida por el plano Δ perpendicular al primer bisector que pasa por el punto (6;0;0) y la traza vertical forma un ángulo de 60º con la LT. 2).- Hallar la verdadera magnitud de la sección, desarrollo y transformada

Paso 1.- Situamos el punto de origen O y a 20 mm trazamos una perpendicular a la LT y seguidamente a 100mm otra paralela a la anterior que será la altura del prisma.

Paso 2.-Trazamos paralelas a la LT para hallar los puntos A’-A’’(30,50) y B’-B’’(50,40).

Paso 3.- Trazamos paralelas a la LT para hallar el punto C’-C’’(60,30).

Paso 4.- Trazamos paralelas a la LT para hallar el punto D’-D’’(40,10).

Paso 5- Trazamos el plano Δ1- Δ2.

Paso 5- Hallamos la tercera proyección del prisma (base) Paso 5- Hallamos la tercera proyección del prisma (base). Y dibujamos las aristas vistas y ocultas.

Paso 6- Hacemos pasar por la arista A’’ un plano horizontal Ω2 y hallamos la intersección con el plano Δ1- Δ2, que resulta ser una horizontal de plano y la intersección de esta con la arista A’-A’’ punto 1’-1’’.

Paso 7- Hacemos pasar por la arista B’’ otro plano horizontal y hallamos el punto 2’-2’’.

Paso 8- Hallamos los otros dos puntos 3’-3’’ y 4’-4’’ de las otras aristas.

Paso 9- Unimos los puntos y tenemos las dos proyecciones de la sección.

Paso 10.- Hallamos el desarrollo la altura del prisma ya sabemos que es de 100 mm y los lados de la base se encuentran en verdadera magnitud en la tercera proyección, las medidas desde el vértice de la base a la sección están en verdadera magnitud al ser el prisma paralelo a los planos de proyección unimos estos y tenemos la transformada.

Ejercicio Nº 6 Hallar las proyecciones de una pirámide cuadrangular oblicua apoyada en el PH. La base esta formada por los puntos A( 10; 40;0), B( 40; 60;0), C( 60; 30;0), D( 30; 15;0). El vértice V (90; 35;80). 1).- Hallar la sección producida por el plano Δ que pasa por el punto (110;0;0), la traza vertical forma un ángulo de 135º con la LT, la horizontal 30º con la LT. 2).- Hallar la verdadera magnitud de la sección, desarrollo y transformada

Paso 1- Trazamos la LT marcamos el origen 0 y situamos el punto A de coordenadas (10, 40,0).

Paso 2- Situamos los puntos B(40,60,0); C(60,30,0); D(30,15,0) y el vértice V(90,35,80).

Paso 3- Unimos los puntos y tenemos las dos proyecciones de la pirámide y situamos el plano Δ según los datos.

Paso 4- Hallamos la intersección de la arista V-A con el plano mediante, un plano proyectante de la arista punto 1’-1’’.

Paso 5- Hallamos las siguientes intersecciones en las que vemos que las aristas V-B y V-C no se cortan con el plano dado. Esto también se aprecia porque la traza horizontal cota a la base en los lados A’-B’ y C’-D’.

Paso 6- Hallamos los puntos de corte con la base puntos 3’-3’’ y 4’-4’’.

Paso 7- Unimos los puntos y tenemos las dos proyecciones de la sección.

Paso 8- Como la pirámide es oblicua tenemos que girarla y ponerla paralela al plano de proyección vertical, para esto trazamos un eje de giro e’-e’’ que pase por el vértice V’-V’’. .

Paso 9- Giramos las aristas tal como vemos y esta están en verdadera magnitud.

Paso 10.- Llevamos los puntos de la sección sobre las aristas puntos 11’’ en que la distancia del vértice al punto se encuentra en verdadera magnitud.

Paso 11.- Hacemos lo mismo con el punto 2’’ .

Paso 12.- Trazamos una recta cualquiera V-A de medida V-A=V’’-A1’’ como la base se encuentra en verdadera magnitud se toma la medida A’-B’ y trazamos una arco con centro en A y con centro en V otro de radio V-B= V’’-B1’’. Que nos da el vértice B.

Paso 13.- Hacemos los mismo para los otros vértices C, D y A.

Paso 14.- Unimos los puntos y tenemos el desarrollo de la pirámide, llevamos las medidas de V-1 y V-2 de la misma forma que los vértices y para los puntos 3 y 4 tomamos las medidas igual que para la base.

Paso 15.- Construimos la base sobre uno de sus lados.