Apuntes 2º Bachillerato C.S. MATRICES U.D. 2 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. SISTEMAS CON MATRICES U.D. 2.6 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Matrices y Sistemas Un sistema de ecuaciones lineales queda determinado por sus coeficientes y sus términos independientes. Si situamos dichos coeficientes en una tabla, en el mismo orden en que están situados en el sistema, obtendremos un conjunto ordenado llamado matriz, compuesto por tantas filas como ecuaciones y tantas columnas como incógnitas. Así tendremos la Matriz del sistema o de los coeficientes. Y si a ésta matriz la añadimos la columna de los términos independientes tendremos la Matriz ampliada. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Matriz Sistema y Ampliada Ejemplo: 8.x + 4.y + 3.z = 0 2.x + 3.y + z = 5 x + y – 3.z = 1 La matriz del sistema será: La matriz ampliada será: @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. ECUACIONES Y SISTEMAS ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES Son ecuaciones o sistemas de ecuaciones en las cuales las incógnitas o coeficientes son matrices. Sea A. X = B la ecuación, donde A y B son matrices Despejando X tenemos X = B / A = A–1.B Tendremos que calcular la inversa de la matriz A y luego un producto de matrices. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

MATRICIAL DE UN SISTEMA Todo sistema de ecuaciones lineales se puede expresar mediante matrices. En muchos casos ello nos facilitará además la resolución del sistema y demás cálculos. Ejemplo x – 2y + 3z = 4 5x + 6y – 7z = 8  A.X = C 9x – 10y + 11z = 12 1 – 2 + 3 x 4 A = 5 + 6 – 7 X = y C = 8 9 – 10 +11 z 12 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. ... Ejemplo Tenemos pues A.X = C De donde X = C / A = A-1. C Si la matriz A es cuadrada y tiene inversa, podremos hallar A-1. La matriz inversa multiplicada por la matriz C nos dará la solución del sistema de ecuaciones. Calculamos la matriz inversa mediante Gauss-Jordan: 1 – 2 3 1 0 0 5 + 6 – 7 0 1 0 9 – 10 11 0 0 1 F2=F2 – 5XF1 y F3=F3 – 9XF1 0 16 – 22 -5 1 0 0 8 -16 -9 0 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. ... Ejemplo F3=F3 – 0,5XF2 y F3=F3:16 1 – 2 3 1 0 0 0 1 – 22/16 -5/16 1/16 0 0 0 – 5 -6,5 -0,5 1 F3=F3:(-5) y F1=F1 – 3XF3 1 – 2 0 -2,9 -0,3 0,6 0 0 1 1,3 0,1 -0,2 F2=F2 + (22/16)F3 y F1=F1 + 2XF2 1 0 0 0,05 0,1 0,05 0 1 0 1,475 0,2 -0,275 0 0 1 1,3 0,1 -0,2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. ... Ejemplo 0,05 0,1 0,05 La matriz inversa es A-1 = 1,475 0,2 -0,275 1,3 0,1 -0,2 Las soluciones del sistema serán: 0,05 0,1 0,05 4 X = A-1 .C = 1,475 0,2 -0,275 . 8 1,3 0,1 -0,2 12 0,2 + 0,8 + 0,6 X = 5,9 + 1,6 – 3,3 5,2 + 0,8 – 2,4 x  x = 1,60 X= y  y = 4,20 z  z = 3,60 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Resolución de sistemas Otro ejemplo x – 2y + 3z = 14 2x – z = – 1  A.X = C – 3y + 2z = 12 1 – 2 + 3 x 14 A = 2 0 – 1 X = y C = –1 0 – 3 + 2 z 12 Tenemos pues A.X = C De donde X = C / A = A-1. C Si la matriz A es cuadrada y tiene inversa, podremos hallar A-1. La matriz inversa multiplicada por la matriz C nos dará la solución del sistema de ecuaciones. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Calculamos la matriz inversa mediante Gauss-Jordan: 1 – 2 3 1 0 0 2 0 – 1 0 1 0 0 – 3 2 0 0 1 F2=F2 – 2·F1 0 4 – 7 – 2 1 0 0 – 3 2 0 0 1 F3=F3 + (3/4)·F2 0 0 – 13/4 – 3/2 3/4 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. F1=F1 + F2 /2 1 0 – 1/2 0 1/2 0 0 4 – 7 - 2 1 0 0 0 – 13/4 -3/2 3/4 1 F1=F1 – F3·(1/2)/(13/4) 1 0 0 3/13 5/13 - 2/13 0 0 – 13/4 - 3/2 3/4 1 F2=F2 – F3·(7) /(13/4) 1 0 0 3/13 5/134 - 2/13 0 4 0 16/13 -8/13 -28/13 0 0 – 13/4 - 3/2 3/4 1 Y finalmente F2 = F2:4 y F3 = F3: (-13/4) 1 0 0 3/13 5/13 - 2/13 0 1 0 4/13 -2/13 - 7/13 0 0 1 6/13 -3/13 - 4/13 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. ... Ejemplo 3/13 5/13 - 2/13 La matriz inversa es A-1 = 4/13 -2/13 - 7/13 6/13 -3/13 - 4/13 Las soluciones del sistema serán: 3/13 5/13 - 2/13 14 X = A-1 .C = 4/13 -2/13 - 7/13 . –1 6/13 -3/13 - 4/13 12 42/13 – 5 /13 – 24 /13 X = 56/13 + 2/13 – 84 /13 84/13 + 3/13 – 48 /13 x  x = 13/13 = 1 X= y  y = - 26/13 = -2 z  z = 39 /13 = 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.