PORCENTAJES U. D. 4 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

OTRAS APLICACIONES DE PORCENTAJES U. D. 4.5 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Geometría Un cubo tiene una arista que mide 40 cm. Por efecto del calor se dilata, de modo que el incremento de la arista es del 5%. ¿Cuál es el incremento que sufre el área de la cara?. ¿Y el incremento del volumen?. Resolución Calculamos los datos del cubo original. Arista: a = 40 cm Área de la cara: A = a2 = 402 = 1600 cm2 Volumen del cubo: V = a3 = 403 = 64000 cm3 La arista, tras el incremento, medirá: af = a0 ·(1+ r/100) = 40·(1+5/100) = 40·1,05 = 42 cm El nuevo área será: Af = af2 = 422 = 1764 cm2 Calculamos el incremento que sufre el área de la cara: Af = Ao· (1 + r/100) 1764 = 1600 · (1+r/100) 1 + r/100 = 1764 / 1600 = 1,09625  r = 9,625 % @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

… Dilataciones Resolución Calculamos los datos del cubo original. Volumen del cubo: V = a3 = 403 = 64000 cm3 El nuevo volumen será: Af = af3 = 423 = 74088 cm3 Calculamos el incremento que sufre el volumen del cubo: Vf = Vo· (1 + r/100) 74088 = 64000 · (1+r/100) 1 + r/100 = 74088 / 64000 = 1,157625  r = 15,7625 % Resumiendo: Si una longitud, la arista del cubo, se incrementa un 5% … Una superficie, el área de la cara, se incrementa un 9,625 % Y un volumen, el del cubo, se incrementa un 15,7625 % @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Geometría Un depósito en forma de prisma recta tenía originalmente las siguientes medidas: Largo, 3 m.; ancho 4 m.; y alto 5 m. Hemos aumentado el largo un 10% y el ancho un 5%, manteniendo la misma altura. El incremento porcentual de las áreas laterales del depósito, ¿es el mismo?. Resolución Calculamos los datos del cubo original. Área de la cara frontal y trasera: A = l·h = 3·5 = 15 m2 Área de las dos caras laterales: A’ = a·h = 4·5 = 20 m2 Calculamos las nuevas magnitudes lineales. lf = l0 ·(1+ r/100) = 3·(1+10/100) = 3·1,10 = 3,30 m. af = a0 ·(1+ r/100) = 4·(1+5/100) = 4·1,05 = 4,20 m. Las nuevas áreas laterales, dos a dos, serán: Af = 3,30·5 = 16,50 m2 A’f = 4,20·5 = 21 m2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

… Dilataciones … Resolución Tenemos: Ao = 15  Af = 16,50 Calculamos los incrementos porcentuales. Af = Ao· (1 + r/100) 16,50 = 15 · (1+r/100) 1 + r/100 = 16,50 / 15 = 1,10  r = 10 % A’f = A’o· (1 + r/100) 21 = 20 · (1+r’/100) 1 + r’/100 = 21 / 20 = 1,05  r’ = 5 % No es el mismo incremento porcentual. Consecuencia: Si de un producto de magnitudes sólo se incrementa una de ellas, el resultado del producto se incrementa en el mismo porcentaje de la magnitud que ha variado. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Otras aplicaciones Hemos visto como, en el interés compuesto: En un año: Cf1 = Co + Co.r/100 = Co.(1+ r/100) En dos años: Cf2 = Co · (1+r/100) · (1+r/100) = Co · (1+r/100)2 En tres años: Cf3 = Co · (1+r/100)2 · (1+r/100) = Co.(1+ r/100)3 En t años: Cft = Co.(1+ r/100)t Eso es así porque se trata de porcentajes encadenados, donde los índices de variación se multiplican. Y como además es el mismo índice, (1+r/100), que se repite cada periodo, al multiplicarse da lugar a potencias. Cuando los índices de porcentajes encadenados son los mismos, son muchas las aplicaciones en Economía, en Estadística, en Biología, en Sanidad, en Física o en Química. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

POBLACIONES Ya sean personas, animales, árboles o bacterias, el crecimiento o disminución de una población sigue las leyes de porcentajes encadenados, donde el índice de variación es el mismo en todos los periodos. Una población que tiene inicialmente No individuos y que crece a razón de un p % anual, al cabo de t años se convierte en Nt individuos, donde: Nt = No · ( 1 + ( p / 100 ) )t Donde (1+ p/100) es el índice de variación. Ejemplo Queremos repoblar de conejos una reserva natural, para lo cual implantamos una población de 50 elementos. Si sabemos que crecen a razón de un 150 % anual, ¿qué población tendremos al cabo de 5 años?. ¿Y al cabo de 10 años?. Al cabo de 5 años tendremos: Nt = 50.(1+(150/100))5 = 4883 Al cabo de 10 años tendremos: Nt = 50.(1+(150/100))10 = 476837 Nota: En 5 años pasamos de 5.000 a medio millón. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

INFECCIÓN Ejemplo Una peligrosa bacteria ha infectado a 7 personas. Cada día que un individuo infectado esté en contacto con otras personas sanas se infectan 2 individuos. Si no se ponen en cuarentena a los infectados, ¿cuántas personas estarán infectadas en una semana?. ¿Y en un mes? Resolución Partimos de la fórmula del aumento poblacional. Nt = No.(1+(p/100))t No = 7 personas iniciales. p = 200 % es el aumento, pues cada persona infecta a 2 sanas. Al cabo de una semana: Nt = 7.(1+(200/100))7 = 15309 personas Al cabo de un mes: Nt = 7.(1+(200/100))30 = 1,5.1015 Nota: En una semana una ciudad, en dos semanas un país, y antes de tres semanas todo el planeta. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Plaga de ratas En un parque público hay una población de 200 roedores. Al mes, la población es de 300 roedores. ¿Qué población habrá a los 3 meses de no poner ningún freno a su expansión demográfica?. ¿Y al año? Resolución Partimos de la fórmula del aumento poblacional. Nt = No.(1+(p/100))t Al mes (t=1) tenemos: 300 = 200.(1+p/100)1 de donde (1 +p/100) = 300/200 = 1,50 p/100 = 0,50  p = 50 % de porcentaje de aumento. A los 3 meses (t=3): P = 200.(1+50/100)3 = 675 roedores. Al año (t=12): P = 200.(1 + 50/100)12 = 25 950 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Depreciación de un valor Con el paso del tiempo hay muchos bienes que pierden su valor, y dicha pérdida de valor sigue una proporcionalidad encadenada cuyo índice es constante. Un bien que posee inicialmente un valor de Vo y que disminuye a razón de un p % anual, al cabo de t años vale Vt , donde: Vt = Vo · (1 – (p/100))t Ejemplo Un coche nos costó 18.000 € (impuestos aparte). Se estima que cada año su valor se deprecia un 20%. ¿Qué valdrá al cabo de 1 año?. ¿Y de 3 años?. ¿Y de 10 años?. ¿Y de 20 años?. Al cabo de 1 año valdrá Vt = 18000.(1 – 0,20)1 = 14 400 € Al cabo de 3 años valdrá Vt = 18000.(1 – 0,20)3 = 9 216 € Al cabo de 10 años valdrá Vt = 18000.(1 – 0,20)10 = 1 932,74 € Al cabo de 20 años valdrá Vt = 18000.(1 – 0,20)20 = 207,53 € Nota: Observar que el índice de variación es i = 0,80, menor que la unidad. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Otro ejemplo Al iniciar un negocio como autónomo se compra un vehículo nuevo por valor de 25.000 € (impuestos aparte). Su valor se deprecia un 15% cada año. Esto significa que después de la depreciación del primer año, el valor del vehículo será del 85% de su costo original, de 21.250 €. 1. ¿Disminuye el valor del vehículo la misma cantidad cada año? 2. ¿Cuándo es mayor la caída en valor? 3. ¿Cuándo es menor la caída en valor? 4. ¿No tendrá ningún valor el vehículo en algún momento, de acuerdo a este modelo?. 5. ¿Tendrá el vehículo en algún momento un valor negativo, de acuerdo a este modelo? La fórmula, ecuación o función será: Vf = 25000.(1 – 0,15)t Vf = 25000.(0,85)t Calcula su valor en los primeros 10 años para contestar lo indicado. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

La fórmula, ecuación o función será: Vf = 25000.(0,85)t Resolución La fórmula, ecuación o función será: Vf = 25000.(0,85)t Para t=1  Valor = 21350 € Para t=2  Valor = 18062,50 € Para t=3  Valor = 15353,13 € Para t=4  Valor = 13050,15 € Para t=5  Valor = 11092,63 € Para t=6  Valor = 9427,54 € Para t=7  Valor = 8014,43 € Para t=8  Valor = 6812,26 € Para t=9  Valor = 5790,42 € Para t=10  Valor = 4921,86 € Para t=100  Valor = 0,0022 € No disminuye el valor del vehículo la misma cantidad cada año, ya que se aplica el mismo porcentaje (85%) a cantidades diferentes. La mayor caída de su valor es el primer año. El proceso es infinito, siempre habrá un valor por pequeño que sea. Y ese valor nunca será nulo ni negativo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.