Matemáticas 2º Bachillerato C.T. DERIVADAS U.D. 5 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

APLICACIONES ANALÍTICAS DE LAS DERIVADAS U.D. 5.8 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

CÁLCULO DE LA DERIVADA EN VARIOS PUNTOS Cuando una función nos viene dada de forma analítica, y=f(x), su derivada f ’(x) nos da la inclinación o pendiente de la función en cada punto. EJEMPLO Hallar la derivada de y = x2 + 3x – 5 en x = -2, en x = 0, y en x = 3 Hallamos la función derivada: y ‘ = 2x + 3 f ‘(-2) = 2.(-2) + 3 = - 4 + 3 = - 1 f ‘(0) = 2.(0) + 3 = 0 + 3 = 3 f ‘(3) = 2.(3) + 3 = 6 + 3 = 9 Que es mejor que calcular las tres derivadas de la función en un punto, UTILIZANDO LA FUNCIÓN DERIVADA. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

OBTENCIÓN DE ABSCISAS EN PUNTOS SINGULARES Se llaman puntos singulares a los puntos de tangencia horizontal, entre los cuales están los máximos y mínimos relativos. Las abscisas de los puntos singulares son los valores de x que cumplen: f´(x) = 0. EJEMPLO Hallar los máximos y mínimos relativos de la función: y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5 Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x2 + 6.x – 12 La igualamos a cero: 6.x2 + 6.x – 12 = 0 Simplificamos: x2 + x – 2 =0 Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 En x = -2 habrá un máximo o un mínimo relativo. En x = 1 habrá un máximo o un mínimo relativo. Normalmente si en uno de los puntos hay un máximo en el otro hay un mínimo. Para determinar si es máximo o mínimo estudiaremos su entorno . @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

OBTENCIÓN DE ABSCISAS PARA UN VALOR DE LA DERIVADA Para hallar los valores de x que cumplen f´(x) = k, se obtiene la expresión de la derivada y se resuelve la ecuación. EJEMPLO Sea la función, ya empleada: y = 2.x3 + 3.x2 – 12.x – 5 ¿Para qué valor de x la pendiente de la recta tangente valdrá m=2? Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x2 + 6.x – 12 Simplificamos: y ‘ = 6.(x2 + x – 2 ) Resolvemos la ecuación: 2 = 6.(x2 + x – 2 )  6.x2 + 6.x – 14 = 0  3.x2 + 3.x – 7 = 0  x = [ - 3 +/- √(9 + 84)] / 6 = 1,11 y - 2,11 En x = -2,11 y en x = 1,11 la pendiente de la tangente vale m=2. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. RECTAS TANGENTES RECTAS TANGENTES EN UN PUNTO Ya vimos como la pendiente de la recta tangente a una función, m, era el valor de la derivada de dicha función en dicho punto: m = f ‘ (a) Luego la ecuación de la recta tangente a la función y = f(x) en el punto x=a será, empleando la fórmula del punto-pendiente: y – f(a) = f ’(a). ( x – a ) EJEMPLO 1 Hallar la ecuación de la recta tangente a la función y = x2 – 3x + 2 en el punto de abscisa x = 1. Como la pendiente de la recta tangente, m, es el valor de la derivada en dicho punto: y ‘ = 2.x - 3 m = f ‘ (1) = 2.(-1) – 3 = - 5  y – f(1) = m. ( x – 1 ) Luego la recta tangente es: y – 0 = - 5. ( x – 1 )  y = - 5.x + 5 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. RECTAS TANGENTES EJEMPLO 2 Hallar la ecuación de la recta tangente a la función y = 2.x3 + 3. x2 – 12.x – 5 en el punto de abscisa x = – 3. Como la pendiente de la recta tangente, m, es el valor de la derivada en dicho punto: y ‘ = 6.x2 + 6.x – 12 m = f ‘ (-3) = 6.9 – 6.3 – 12 = 54 – 18 -12 = 24  y – f(-3) = m. ( x + 3 ) Luego la recta tangente es: y – (2.(-27) + 3.9 + 12.3 – 5) = 24. ( x + 3)  y – (-54 + 27 + 36 – 5) = 24.x + 72  y – 4 = 24.x + 72  y = 24.x + 76 – 3 - 2 - 1 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. EJEMPLO 3 Sea la función: a) Calcula la función derivada. b) ¿En qué punto de gráfica de f la derivada vale 10?. c) ¿En qué punto de gráfica de f la tangente es horizontal?. d) ¿Hay algún punto de la gráfica en que la tangente sea paralela a la recta y = - 3.x + 2 ? @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. RESOLUCIÓN a) Hallamos la función derivada. f(x+h) – f(x) f ’(x) = lím ----------------- = h0 h 0,33.(x+h)3 + 0,50.(x+h)2 – 6.(x+h) – 0,33.x3 – 0,50.x2 + 6.x = lím ------------------------------------------------------------------------------- = h0 h 0,33.(x3 +3.x2 .h+3.x.h2 +h3) +0,50.(x2 +2.x.h+h2) – 6.x – 6.h – 0,33.x3 – 0,50.x2 + 6.x x2.h + x.h2 + 0,33.h3 + 0,50.h2 – 6.h = lím ---------------------------------------------------------------- = h0 h = lím ( x2 + x.h + 0,33.h2 + 0,50.h – 6 ) = x2 + x – 6 h0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. RESOLUCIÓN b) Punto en que f´(x) vale 14. f ’(x) = x2 + x – 6  x2 + x – 6 =14  x2 + x – 20 = 0 Resolviendo la ecuación: x = [ – 1±√(1+80)]/2 = 4 y – 5 c) Tangente horizontal La pendiente de la recta tangente debe ser cero. m = f ’(x) = x2 + x – 6  x2 + x – 6 =0 Resolviendo la ecuación: x = [ – 1±√(1+24)]/2 = 2 y – 3 d) Tangente paralela a la recta y = - 3.x + 2 Al ser paralela debe tener la misma pendiente. m = f ’(x) = x2 + x – 6  x2 + x – 6 = – 3  x2 + x – 3 = 0 Resolviendo la ecuación: x = [ – 1±√(1+12)]/2 = 1,30 y – 2,30 Importante: Aquí hemos hallado las abscisas (valores de x) de los puntos de tangencia pedidos. Hay que hallar también las correspondientes ordenadas o imágenes (valores de y) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

FÓRMULA MEDIANTE LAS DERIVADAS Escribe una función lineal que verifique las siguientes condiciones: a).- La derivada en x = 3 vale 2. b).- Pasa por el punto P(– 5 , 7). SOLUCIÓN La derivada de una función lineal es la pendiente, m, de dicha función. m = 2 Por la ecuación punto-pendiente: y – yo = m.(x – xo) y – 7 = 2.(x – (– 5)) y – 7 = 2.(x + 5) y – 7 = 2.x + 10 y = 2.x + 17 F(x) = 2.x + 17 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

FÓRMULA MEDIANTE LAS DERIVADAS Escribe una función lineal que verifique las siguientes condiciones: a).- La derivada en x = 5 vale – 1/3. b).- Pasa por el punto origen de coordenadas. SOLUCIÓN La derivada de una función lineal es la pendiente, m, de dicha función. m = – 1/3 Por la ecuación punto-pendiente: y – yo = m.(x – xo) y – 0 = – 1/3.(x – 0) y = – 1/3.x F(x) = – x / 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

FÓRMULA MEDIANTE LOS PUNTOS SINGULARES Escribe una función cuadrática que verifique las siguientes condiciones: Presenta un máximo relativo en el punto Max(2, 14). EJEMPLO Sea la función pedida: y = – x2 + b.x + c, pues debe ser convexa para que tenga un máximo relativo. x = 2 es el máximo, que está en el vértice. x = - b /2.a  2 = - b /2.(-1)  2 = b / 2  b = 4 Por pasar por el punto (2, 14) 14 = – 22 + 4.2 + c 14 + 4 – 8 = c 10 = c F(x) = – x2 + 4.x + 10 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

FÓRMULA MEDIANTE LOS PUNTOS SINGULARES Escribe una función cuadrática que verifique las siguientes condiciones: Presenta un mínimo relativo en el punto Mín(3,– 2). EJEMPLO Sea la función pedida: y = x2 + b.x + c, pues debe ser cóncava para que tenga un mínimo relativo. x = 3 es el mínimo, que está en el vértice. x = - b /2.a  3 = - b /2.1  3 = - b / 2  b = – 6 Por pasar por el punto (3 , – 2) – 2 = 32 – 6.3 + c – 2 – 9 + 18 = c 7 = c F(x) = x2 – 6.x + 7 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

FÓRMULA MEDIANTE LOS PUNTOS SINGULARES Escribe una función cúbica que verifique las siguientes condiciones: a) Presenta un mínimo relativo en el punto Mín(2 , 0). b) Pasa por el punto (0,0) EJEMPLO Sea la función pedida: y = x3 + b.x2 + c.x + d. Por pasar por el punto (0,0): 0 = 0 + 0 + 0 + d  d = 0 Luego la función es: y = x3 + b.x2 + c.x x = 2 es el mínimo, cuya derivada es cero. y´= 3.x2 + 2.b.x + c = 0  3.4 + 4.b + c = 0 Por pasar por el punto (2 , 0) 0 = 23 + b.22 + c.2  8 + 4.b + 2.c = 0 Resolviendo el sistema: c = – 4  b = – 2 F(x) = x3 – 2.x2 – 4.x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.