Lógica de Proposiciones y Predicados

Sistema de Deducción Natural de Enunciados (SDNE) Lenguaje Formal Símbolos primitivos y auxiliares Alfabeto – Variables proposicionales Conectores o conectivas, NOT, OR, AND, IMPLICACION Símbolos auxiliares(), {} Reglas de las formas básicas de formación (fbf) RF1 Una variables es un una fbf RF2 Si A es una fbf, entonces negación de A también RF3 Si A y B son fbfs: Disyunción, Conjunción, Implicación RF4 Ninguna secuencia o concatenación es un fbf

Sistema de Deducción Natural de Enunciados (SDNE) Reglas Semánticas RS1 A cada variable proposicional le corresponde un valor semántico: verdadero o falso RS2 ⌐A=verdad si y solo si A es falso RS3 A y B=verdad si y solo si …. RS4 A ó B=verdad si y solo si …. RS5 A → B=verdad si y solo si A=falso y B=verdad

Interpretación o evaluación de fórmulas Tautología o fórmula válida Contradicción, formula inconsistente o fórmula insatisfactible Fórmula consistente o fórmula satisfactible Fórmula inválida

Interpretación o evaluación de fórmulas Una fórmula es válida si y solo si su negación es inconsistente Una fórmula es inconsistente si y solo si su negación es válida Una fórmula es inválida si y solo si existe por lo menos una interpretación sobre la cuál la fórmula es falsa Una fórmula es consistente si y solo si existe por lo menos una interpretación sobre la cuál la fórmula es verdadera Si una fórmula es válida, entonces es consistente, pero no viceversa Si una fórmula es inconsistente, entonces es inválida, pero no viceversa

Estrategias de Formalización Identificar las expresiones lingüísticas que son contrapartidas de las conectivas del lenguaje formal. Identificar los enunciados atómicos del texto a formalizar. Identificar los enunciados atómicos que expresan una misma proposición, asignando la misma variable proposicional a aquellos enunciados atómicos que expresan la misma proposición.

Estrategias de Formalización Sustituir los enunciados atómicos por las variables proposicionales asignadas. Identificar todas las negaciones que puedan aparecer en el texto a formalizar y hacerlas corresponder ocurrencias del operador negador, ⌐ En este sentido conviene tener presente que las negaciones no siempre aparecen al inicio del un enunciado, sino intercaladas en el mismo.

Estrategias de Formalización La negación la podemos encontrar en expresiones como: No es el caso que P, no P, no es cierto que P, etc. También conviene tener presente que determinadas ocurrencias de la doble negación en español expresan en realidad una negación simple. Es importante identificar cuándo un enunciado es forma afirmativa expresa en realidad la negación de otro enunciado que aparece en el mismo texto a formalizar.

Estrategias de Formalización La constante lógica de conjunción ᴧ la utilizaremos en expresiones que se entiendan como: P y Q, P pero Q, P aunque Q, etc. La constante lógica de disyunción v la utilizaremos en expresiones que se entiendan como: P o Q, ya P ya Q, ya ambas, etc.

Estrategias de Formalización La constante lógica de implicación → la utilizaremos en expresiones que contengan como: Si P entonces Q, P solo si Q, Solo P si Q, Es suficiente P para que Q, Siempre que P entonces Q, Es necesario Q para que P, No P a menos que Q, A no ser que Q no P

Estrategias de Formalización La constante lógica de equivalencia ↔ la utilizaremos en expresiones que se entiendan como: P si y solo si Q P cuando y solo cuando Q P es condición suficiente y necesaria para que Q

Estrategias de Formalización Construir fbfs como enunciados separados por un punto figuren en el texto a formalizar. En el caso de que el texto sea una argumentación o varias, habrán de diferenciarse las premisas y la conclusión de cada una de ellas mediante el procedimiento de enumerar los fbfs correspondientes a las premisas anteponiendo un guión a la fórmula y número y poniendo el símbolo ˫ o . ̇. ante la fórmula que representa la conclusión.

Estrategias de Formalización - Ejemplos Puedes tomar el bus siempre que sea el número 35 p = Puedes tomar el bus q = Es el bus 35 Formalización q → p

Estrategias de Formalización - Ejemplos Basta con conseguir un buen expositor para llenar el auditorio p = Conseguir un buen expositor q = llenar el auditorio Formalización p → q

Estrategias de Formalización - Ejemplos Si tus padres son los míos, entonces somos hermanos p = tus padres son los mios q = somos hermanos Formalización p → q

Estrategias de Formalización - Ejemplos Para aprobar la materia de Matemáticas es necesario obtener una calificación de al menos 20 puntos en los aportes y una calificación al menos 10 en el examen final. p = Aprobar la materia de Matemáticas q = Obtener al menos 20 puntos r = Obtener al menos 10 puntos Formalizar p → (q ᴧ r)

Estrategias de Formalización - Ejemplos Siempre y cuando no haya cola en el banco, depositaré 200$ en la cuenta de Juan o te transferiré a tu cuenta. p = Hay cola en el banco q = se depositará 200$ en la cuenta de juan r = se tranferirá a la cuenta Formalización ⌐ p → (q v r)

Estrategias de Formalización - Ejemplos Analizar el ejercicio 12 del libro guía Formalizar: Si juan toca la guitarra formará parte del conjunto Al menos dos de cada tres ecuatorianos tienen servicios básicos Siempre que no haya teléfono, te escribiré un correo electrónica o te enviaré un mensaje de texto. Cuando reciba el préstamo que el banco me debe, compraré el auto y la tv que tanto deseo

Estrategias de Formalización - Ejemplos Si el banco no me aprueba el préstamo, será necesario que lo solicite a otro banco o tendría que conseguir otro trabajo. Es necesario para obtener la licencia de conducir que se pague los valores requeridos, se apruebe el examen de conocimiento y se apruebe el examen visual. Para aprobar el examen visual es necesario que me compre los lentes. Para comprarme los lentes se necesita que la empresa me pague el 1 de noviembre

Estrategias de Formalización - Ejercicios

Estrategias de Formalización - Ejercicios

Patrones de Inferencia Reglas de Inferencia Patrones de Inferencia Confibilidad

Reglas de Inferencia Si p->q es una tautología donde p y q son proposiciones compuestas q depende lógicamente de p p1 p2 |- q

Regla de Inferencia Inicio con probar que p1, p2, p3,….. Son verdaderas y se concluye Premisas -> Conclusiones Por lo tanto, q es verdadera Demostrar que q es verdadera cuando p son verdaderas

Reglas de Inferencia Reglas de Inferencia -> Formas de intervenir y no por valores de verdad La demostración matemática de un teorema comienza con la hipótesis, seguir los pasos con la justificación por alguna regla de inferencia y llegar a la conclusión

Regla de Inferencia (Ejemplo) Si usted estudia entonces se sentirá realizado Premisa 1 Si usted se siente realizado será feliz Premisa 2 Si usted estudia será feliz Conclusión

Regla de Inferencia (Ejemplo) (( p -> q ) ᴧ ( q -> r )) <-> ( p -> r) Este argumento es válido aunque la conclusión posiblemente sea falsa

Deducciones Reglas de Transformación Reglas para transformar unas fórmulas en otras, o sea, para deducir de unas expresiones otras equivalentes