Unidad 1 Capítulo VI Resolución por integración directa

U-1. Cap. VI. Resolución por integración directa Dado que las ecuaciones diferenciales incluyen derivadas, parece natural pensar en la aplicación directa del operador integral como un método apropiado para resolverlas. Sin embargo, la solución de ecuaciones diferenciales por integración directa es la excepción más que la regla, ya que la gran mayoría de éstas no puede resolverse de esta manera. El método se aplica a ecuaciones diferenciales que tienen un solo término con derivadas y no poseen términos que tengan la función incógnita como factor, suponiendo (por supuesto) que las integrales puedan resolverse.

U-1. Cap. VI. Resolución por integración directa Resolver una ecuación diferencial por integración directa, implica la aplicación de las reglas de integración a todos y cada uno de sus términos, a los que se adiciona un término conocido como la constante de integración. Cada vez que se aplica el operador integral a una ecuación de este estilo, el orden de la derivada se reduce en uno y se introduce una constante de integración. Así, una ecuación diferencial de orden n que se puede resolver vía integración directa, implica la aplicación del operador integral n veces (con la inclusión simultánea de sus n constantes de integración).

U-1. Cap. VI. Resolución por integración directa Ejemplo: Use integración directa, cuando proceda, para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales. Solución: a) La función incógnita y es factor del segundo término algebraico, por lo que el método no aplica. b) Esta ecuación incluye un solo término con derivadas y ninguno con la función incógnita y como factor; por lo que puede resolverse por integración directa. Como

Integrando por primera vez se tiene: U-1. Cap. VI. Resolución por integración directa Integrando por primera vez se tiene: Integrando por segunda vez se llega a: De esta manera, la solución general de la ecuación diferencial es:

U-1. Cap. VI. Resolución por integración directa Ejemplo: Un paracaidista salta desde un avión a 5000 m de altura. Si el paracaídas se abre 3 segundos después del salto, ¿cuál es su altura en ese momento? Desprecie la resistencia del aire y considere g = 9.8 m/s2. Solución: Para formular el modelo de este problema en su forma más simple posible, es necesario plantear adicionalmente que el paracaidista describe una trayectoria y en línea recta, como establece el sistema de referencia del esquema.

U-1. Cap. VI. Resolución por integración directa El modelo matemático que aplica en este caso y que se ha obtenido previamente (Cap. III) es. Esta ecuación diferencial contiene un solo término con derivadas y ningún término que tenga la función incógnita y como factor, por lo que puede resolverse vía integración directa. Como la ecuación es de segundo orden, su solución se obtiene mediante dos integraciones sucesivas, lo cual implica la existencia de dos constantes de integración.

U-1. Cap. VI. Resolución por integración directa Al realizar las operaciones indicadas se obtienen las siguientes expresiones: Las condiciones iniciales, de acuerdo con el sistema de referencia son:

De esta manera se obtienen las constantes: U-1. Cap. VI. Resolución por integración directa De esta manera se obtienen las constantes: Así, la distancia y(t) recorrida por el paracaidista es: después de 3 segundos ha recorrido la distancia y(3): y su altura es:

U-1. Cap. VI. Resolución por integración directa Ejemplo: Suponga que una bola de naftaleno sublima con una rapidez proporcional a su área superficial, determine el tiempo que tarda en perder la mitad de su volumen. Solución: En este problema se puede considerar que la sublimación es un proceso homogéneo que ocurre en cada punto de la superficie de la bola. De esta manera es válido asumir que el objeto no pierde su forma esférica a lo largo de todo el proceso.

ambas expresiones son función del radio de la bola, así: U-1. Cap. VI. Resolución por integración directa La expresión “sublima con una rapidez proporcional a su área superficial” sugiere que el cambio de volumen con respecto al tiempo es proporcional al área superficial; es decir: y como la geometría es esférica, el volumen y el área superficial corresponden con: ambas expresiones son función del radio de la bola, así:

aplicando el operador integral: U-1. Cap. VI. Resolución por integración directa Por lo tanto, este proceso es gobernado por la siguiente ecuación diferencial: es decir: aplicando el operador integral:

Como el volumen es entonces: U-1. Cap. VI. Resolución por integración directa Como el volumen es entonces: Si se supone un volumen inicial de medida V0: entonces: Ahora, con la condición : @ t = t, V = V0/2 queda:

Al hacer un poco de álgebra: U-1. Cap. VI. Resolución por integración directa Al hacer un poco de álgebra: se obtiene finalmente: