Se usan indistintamente los símbolos: FUNCIÓN Sean A y B dos conjuntos no vacios. Una función de A en B, es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de A un único elemento y de B. Se usan indistintamente los símbolos: f : A  B ó A  f  B x  y ≡ f(x) para expresar que "f" es una función de A en B y que además, al elemento x de A, le corresponde el elemento y (imagen de x mediante f) de B. Determinándose de esta manera un conjunto de pares ordenados que se pueden representar en Ejes Cartesianos. En este caso vamos a analizar los gráficos que se obtienen de representaciones de funciones con Dominio incluido en el conjunto de los números Reales

Analisis del gráfico de una función Interpreta la siguiente situación problemática: En el laboratorio se realiza el siguiente experimento: “Se tira un objeto pequeño desde 6cm de altura a un recipiente con agua y se confecciona el siguiente gráfico que indica cual el su altura en función del tiempo.” Ahora realizarán un análisis de lo sucedido a través del gráfico, y en consecuencia obtendrán un análisis de la función: ¿qué variables están indicadas en el gráfico.? ……………………………………………………… La relación que las vincula, ¿es la de una función? ..........?Por qué? ……………………………………………………… Variable tiempo (en seg) y altura (en cm) si Porque para todos los valores de tiempo le corresponde un solo valor de altura ¿Qué variables se representa en el eje de ABSCISAS (eje horizontal)?......................... tiempo Para la experiencia entre que valores se analizó .............................................................. Entre 0seg y 11seg DOMINIO de la función es el conjunto de valores de la variable analizada: Domh= ........................... [0,11]

¿Qué variables se representa en el eje de ORDENADAS (eje vertical) Valores de altura ¿Qué valores de altura se observan en este experimento? ............................................................................................ Alturas entre 1cm por debajo y 6cm por encima La IMAGEN de la función es el conjunto de elementos de la segunda variable que interviene en la correspondencia : Imgh= ................... + - + [-1,6] ¿Cuál es la altura del objeto en el instante cero?......... la ORDENADA AL ORIGEN: h(0)=.....  el par (0; .....)  h(t) y se ubica en el eje… 6m 6 6 Y A los 3seg, 8seg y 11seg ¿En qué instante el objeto se encuentra al nivel del agua? .................................................... Todos estos elementos del dominio tienen imagen: ........ Por eso diremos que son los CEROS o RAÍCES de la función. Al conjunto de elementos del dominio cuya imagen es cero, se lo llama CONJUNTO DE CEROS de la función.  C0 = .................... La grafica de la función corta el ejeX en los puntos …………………………….. “0” {3,8,11} (3;0) (8;0) (11;0) ¿Cuánto tiempo estuvo sumergido? ........¿Cuál es el intervalo de tiempo? ................................. ¿cuál es el signo de las imágenes de dicho intervalo? ......  Conjunto de negatividad C- = ……………… ¿Cuáles son los intervalos de tiempo en los que se encuentra sobre la superficie ? ........................................................................ cuál es el signo de las imágenes ? ......  Conjunto de positividad C+ = ……………………. 5seg Desde 3°seg al 8°seg - ( 3 , 8 ) de 0seg a 3°seg y de 8°seg a 11°seg + ( 0 ; 3 )  ( 8 , 11 )

Continuamos analizado ¿En qué instante el objeto desciende? ...........................................................................  INTERVALOS DE DECRECIMIENTO de la función ID=……………….. Desde 0seg hasta los 6seg y de los 9,5seg 11seg (0 , 6 ) (9,5 , 11) ¿En qué instante el objeto asciende? ……………………………........................  INTERVALOS DE CRECIMIENTO de la función IC= …………………….. Desde el 6°seg l 9,5seg ( 6 , 9,5 ) El punto que determina el cambio de decrecimiento a crecimiento se llama MÍNIMO.  las coordenadas del punto mínimo de la función son: Pm =……….. (6;-1) .El punto que determina el cambio de crecimiento a decrecimiento se llama MÁXIMO. las coordenadas del punto máximo de la función son: PM = ………… (9,5 ; 1)

Cinco pasos para el análisis del gráfico de una función Primer paso: Dominio e Imagen Segundo paso: Intersección con los ejes Tercer paso: Signo de la función Cuarto paso: Crecimiento y decrecimiento Quinto paso: Pariedad y periodicidad Sexto paso: Analizar tendencias o Límites (Se verá en otra unidad)

Primer paso: Dominio: Domf = { x  IR / (x ; y )  f } ej.: Domf= (-;-3)(-3;5] Imagen: Imagf = { y  IR / (x ; y )  f } Ej.: Imagf = IR

Segundo paso: Intersección con los ejes cartesianos: Determinar la ORDENADA AL ORIGEN f( 0 )= 2 f corta el eje y en ( 0 ; 2 ) (observar el eje de ORDENADAS) Determinar los CEROS O RAÍCES f  eje x = { (x ; y ) / x  IR , y=f(x)= 0} (observar el eje de ABSCISAS) f corta el eje y en ( -2;0) (2;0) (4;0)

Tercer paso Conjunto de ceros y signo x = x0 es cero o raíz de f si y solo si f(x0) = 0 Conjunto de ceros de una función C0= {x  domf / f( x ) = 0 } Conjunto de positividad de la función C+= {x  domf / f( x ) > 0 } Conjunto de negatividad de la función C_= {x  domf / f( x ) < 0 }

Cuarto paso: Crecimiento y decrecimiento f: A  B / y = f ( x ) es estrictamente creciente en A si y solo si  x1  A y  x2  A se cumple que: x1 < x2  f( x1) < f( x2) f: A  B / y = f ( x ) es estrictamente decreciente en A si y solo si  x1  A y  x2  A se cumple que: x1 < x2  f( x1) > f( x2)

Quinto paso: Pariedad y periodicidad f es par   x  domf: f( x ) = f( - x ) f es impar   x  Domf: f( x ) = - f( - x ) f es periódica   x  domf: f( x ) = f( x + k ) K  IR

Análisis del gráfico de una función: Dominio: Domf = { x  IR / (x ; y )  f } Imagen Imagf = { y  IR / (x ; y )  f } Intersección con los ejes cartesianos f  eje y = { ( 0 ; f( 0 )) } f  eje x = { (x ; y ) / x  IR , Y = 0} Conjunto de ceros y signo x = x0 es cero o raíz de f si y solo si f(x0) = 0 Conjunto de ceros de una función C0= {x  domf / f( x ) = 0 } Conjunto de positividad de la función C+= {x  domf / f( x ) > 0 } Conjunto de negatividad de la función C_= {x  domf / f( x ) < 0 } Crecimientos y Decrecimiento f: A  B / y = f ( x ) es estrictamente creciente en A si y solo si  x1  A y  x2  A se cumple que: x1 < x2  f( x1) < f( x2) f: A  B / y = f ( x ) es estrictamente decreciente en A si y solo si  x1  A y  x2  A se cumple que: x1 < x2  f( x1) > f( x2) Las funciones crecientes o decrecientes, en sentido amplio o estricto, se denominan monótonos. En algunas funciones se da que en parte del dominio es creciente y otra es decreciente. Pariedad:: f es par   x  domf : f( x ) = f( - x ) f es impar   x  domf : f( x ) = - f( - x ) Función periódica: f es periódica con priodo K   x  domf : f( x ) = f( x + k)

Ahora la tan ansiada tarea: Completar el análisis a las siguientes gráficas de funciones

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