Unidad 4 Anexo 3. Capítulo X. Ecuación de Euler.

U-4.A-3. Cap. X. Ecuación de Euler. Una ecuación de coeficientes variables que se puede transformar a una de coeficientes constantes es la ecuación de Euler, que tiene la siguiente forma: donde a1, a2, . . . , an son constantes. Esta ecuación se distingue porque cada término del lado izquierdo es de la forma k x my(m), con k constante y m entero no negativo. La forma estándar de la ecuación de Euler se obtiene al dividir cada término entre el coeficiente principal xn con lo que los demás coeficientes son discontinuos en x = 0.

en una lineal de orden n con coeficientes constantes. U-4.A-3. Cap. X. Ecuación de Euler. Teorema: Ecuaciones de Euler. La transformación x = ez siempre transforma la ecuación de Euler de orden n: en una lineal de orden n con coeficientes constantes. Este teorema se probó anteriormente para n = 2, la misma demostración puede extenderse para orden superior. La solución de la ecuación transformada se obtiene en forma convencional y la solución de la ecuación original, mediante la transformación inversa z = ln x.

U-4.A-3. Cap. X. Ecuación de Euler. En ecuaciones de orden superior, la transformación que se muestra en el teorema es prolongada y tediosa. Para simplificar se usa la transformación alterna y = xr, y resulta una ecuación de grado n en r análoga al polinomio característico de la ecuación de coeficientes constantes. Al obtener las n raíces r1, r2, . . . , rn, la solución general de la ecuación de Euler transformada se determina en la forma explicada previamente. Finalmente, la transformación inversa z = ln x permitirá obtener la solución general de la ecuación de Euler dada.

U-4.A-3. Cap. X. Ecuación de Euler. Como alternativa más sencilla, podemos suponer que la solución directamente es de la forma y = xr; así, al sustituir ésta y sus derivadas en la parte homogénea de la ecuación de Euler se tiene: si las n raíces r1, . . . , rn son reales y distintas, las n soluciones linealmente independientes son: si r1 es una raíz de multiplicidad k, sus k soluciones linealmente independientes correspondientes son:

U-4.A-3. Cap. X. Ecuación de Euler. Si el par complejo conjugado r1,2 = a  ib es una raíz de multiplicidad k, sus 2k soluciones linealmente independientes son: Observe que el factor ln x juega el papel de la variable independiente x en las ecuaciones con coeficientes constantes.

U-4.A-3. Cap. X. Ecuación de Euler. La solución general de una ecuación de Euler para x > 0 puede determinarse a partir de la solución general de una ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes con el mismo polinomio característico, sustituyendo las x en la solución por ln x. Para ecuaciones no homogéneas, se determina la solución característica y se encuentra una solución particular por el método de variación de parámetros. La ecuación debe estar en su forma estándar, de modo que se pueda identificar adecuadamente el término no homogéneo R(x).

para x > 0 tomando y = xr. U-4.A-3. Cap. X. Ecuación de Euler. Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: para x > 0 tomando y = xr. Solución: Esta es una ecuación de Euler, ya que sus términos tienen la forma k xmy(m) para m = 0, 1 y 3. Al sustituir y = xr y sus derivadas: en la ecuación diferencial se obtiene:

ya que xr no puede ser cero. U-4.A-3. Cap. X. Ecuación de Euler. lo que resulta en: ya que xr no puede ser cero. Las raíces de esta ecuación polinomial son r1 = r2 = 2 (raíz doble) y r3 = 1; por lo que la solución general de esta ecuación de Euler es: