Unidad 7. Capítulo V. Técnicas para obtener la Transformada Inversa.

U-7. Cap. V. Técnicas para obtener la transformada inversa. 1. Separación de fracciones: El denominador de F(s) es una potencia de s. Encuentre la transformada inversa de: Solución: así:

U-7. Cap. V. Técnicas para obtener la transformada inversa. 2. 1er teorema de traslación: El denominador de F(s) es una potencia de s  a. Encuentre la transformada inversa de: Solución: Toda s en el numerador se expresará (s + 3 – 3). así:

3. Fracciones parciales: Factores lineales diferentes. U-7. Cap. V. Técnicas para obtener la transformada inversa. 3. Fracciones parciales: Factores lineales diferentes. Encuentre la transformada inversa de: Solución: La función racional se transforma en una suma de fracciones parciales Lo que produce la ecuación que se resuelve para las constantes A y B

i) Método de polos (sólo para factores lineales no repetidos) U-7. Cap. V. Técnicas para obtener la transformada inversa. i) Método de polos (sólo para factores lineales no repetidos) Determine A y B proponiendo: s = 2 y s = 4 Así:

ii) Método de igualdad de polinomios U-7. Cap. V. Técnicas para obtener la transformada inversa. ii) Método de igualdad de polinomios de donde se obtiene el sistema: cuya solución, de manera análoga al método anterior, es: Por tanto:

4. Fracciones parciales: Factores cuadráticos irreductibles. U-7. Cap. V. Técnicas para obtener la transformada inversa. 4. Fracciones parciales: Factores cuadráticos irreductibles. Encuentre la transformada inversa de: Solución: Si se distribuye el denominador, se tiene así:

5. Fracciones parciales: Diferencia de cuadrados. U-7. Cap. V. Técnicas para obtener la transformada inversa. 5. Fracciones parciales: Diferencia de cuadrados. Encuentre la transformada inversa de: Solución: El denominador se puede factorizar, por lo que: así:

Ahora, de la definición de seno y coseno hiperbólicos: U-7. Cap. V. Técnicas para obtener la transformada inversa. Esta transformada inversa se puede obtener, análogamente, en la forma siguiente: Ahora, de la definición de seno y coseno hiperbólicos:

6. Fracciones parciales: Factores con raíces repetidas. U-7. Cap. V. Técnicas para obtener la transformada inversa. 6. Fracciones parciales: Factores con raíces repetidas. En este caso la transformada inversa de Laplace se escribe: y se procede en forma análoga al caso 2.

7. Fracciones parciales: Factores con raíces diferentes. U-7. Cap. V. Técnicas para obtener la transformada inversa. 7. Fracciones parciales: Factores con raíces diferentes. En este caso la transformada inversa de Laplace se escribe: y se procede en forma análoga al caso 3.

U-7. Cap. V. Técnicas para obtener la transformada inversa. 8. Fracciones parciales: Factores con raíces complejas conjugadas. Completar trinomio cuadrado perfecto. Encuentre la transformada inversa de: Solución: Finalmente:

9. 2° teorema de traslación. U-7. Cap. V. Técnicas para obtener la transformada inversa. 9. 2° teorema de traslación. Encuentre la transformada inversa de: Solución: así:

De las identidades trigonométricas: U-7. Cap. V. Técnicas para obtener la transformada inversa. o bien: De las identidades trigonométricas: Finalmente se tiene:

10. Teorema de convolución. U-7. Cap. V. Técnicas para obtener la transformada inversa. 10. Teorema de convolución. Encuentre la transformada inversa de: Solución: De esta manera:

U-7. Cap. V. Técnicas para obtener la transformada inversa. Finalmente: