U.D. 9 * 2º ESO FIGURAS SEMEJANTES π @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

U.D. 9.3 * 2º ESO CRITERIOS DE SEMEJANZA π @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

TRIÁNGULOS SEMEJANTES Dos triángulos serán semejantes si presentan igualdad de formas pero distintas medidas en los lados. En otras palabras, si sus lados son proporcionales y sus ángulos correspondientes iguales. La razón de proporcionalidad de sus lados o razón de semejanza es: a’ b’ c’ r = ---- = ---- = ----- a b c a a’ b b’ c c’

TRIÁNGULOS SEMEJANTES CRITERIO Dos triángulos serán semejantes si tienen sus lados proporcionales. C C’ Tenemos que se cumple, de entrada: a b c ---- = ---- = ---- a’ b’ c’ Sobre el lado A’B’ del triángulo A’B’C’ se lleva el segmento AB y se traza una paralela al segmento C’A’. Al estar ambos triángulos en posición de Tales, sus ángulos son iguales y por lo tanto son semejantes. a b a’ A C B b’ c A A’ B’ c’

TRIÁNGULOS SEMEJANTES No siempre vamos a saber si dos triángulos tienen los tres lados proporcionales y los tres ángulos correspondientes iguales. Por ello se tienen tres criterios para su identificación. CRITERIOS: 1.- Tienen los lados proporcionales. EJEMPLO La razón de proporcionalidad, en el ejemplo, es: 5 4 3 r = ---- = ---- = ------ = 2 2,5 2 1,5 a=2,5 a=5 b=2 b=4 c=1,5 c=3

CRITERIO 2.- Dos triángulos serán semejantes si tienen dos ángulos correspondientes iguales. Consecuencia: Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el tercer ángulo también será igual C C’ Sobre el lado CA se lleva el lado C’A’ y se traza una paralela al lado AB. Como los ángulos son iguales, ambos triángulos han quedado en posición de Tales, por lo cual son semejantes. b’ a’ b’ c’ A’ B’ A B

Tienen dos ángulos iguales. EJEMPLO Tienen dos ángulos iguales. Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el tercer ángulo también será igual, pues siempre: A+B+C = 180º C=180º - A – B A=70º B=80º A=70º B=80º

El triángulo inscrito es igual al ABC. CRITERIO 3.- Dos triángulos serán semejantes si tienen un ángulo correspondiente igual y los lados que lo forman son proporcionales. De entrada sabemos que A=A’ y que se cumple b c --- = ---- b’ c’ C C’ Sobre el lado A’B’ se lleva el segmento AB ( lado c) y se traza un segmento paralelo a B’C’. El triángulo inscrito es igual al ABC. Al quedar ambos en posición de Tales, son semejantes. a b a’ b’ B A c b c A’ B’ c’

EJEMPLO Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido vale igual. La razón de proporcionalidad, en el ejemplo, es: 4 3 r = ---- = ---- = 2 2 1,5 Las hipotenusas valdrán: a=√(42+32) = 5 a´=√(22+1´52) = 2,5 Comprobamos que son proporcionales: 5 r= -----= 2 2,5 b=2 b=4 A=90º c=1,5 A=90º c=3

TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE THALES Dos triángulos están en posición de Thales si tienen un ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos. Los triángulos en posición de Thales son semejantes. b’=3 a=30 a’=5 a’=40 b=24 b’=4 l’=6 l’=6 c=9 a=2,5 b’=32 b=1 b=2 c=1,5 l=2 l=2 c’=3 c’=12