ECUACIONES U. D. 4 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS U. D. 4.1 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

ECUACIONES LINEALES Para resolver una ecuación lineal (o de primer grado) hay que hallar la ecuación equivalente que tenga en uno de sus lados únicamente la incógnita. PRIMER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: Si en una igualdad sumamos (o restamos) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta x - a = b  x – a + a = b + a  x = b + a SEGUNDO PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: Si en una igualdad multiplicamos ( o dividimos ) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta a.x = b  a.x / a = b /a  x = b / a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

ECUACIONES LINEALES TERCER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Si en una igualdad multiplicamos ( o dividimos ) por - 1 a ambos lados, la igualdad sigue siendo cierta. Ello equivale a cambiar todo de signo. - x = a  x = - a Si en una desigualdad ( o inecuación) multiplicamos ( o dividimos ) por - 1 a ambos lados, el signo de la desigualdad cambia. - x < a  x > - a Ejemplo: Numéricamente: - 2 < 3  2 > - 3 Algebraicamente: - x < 2  x > - 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplos EJEMPLOS 1. Resolver la ecuación: x – 2 = 5 Sumamos 2 a ambos lados, quedando: x – 2 + 2 = 5 + 2  x = 7 2. Resolver la ecuación: x – 2 = x + 5 x – 2 + 2 = x + 5 + 2  x = x + 7 Restamos x a ambos lados, quedando: x – x = x + 7 – x  0 = 7  INCOMPATIBLE 3. Resolver la ecuación: x – 2 = x – 2 x – 2 + 2 = x - 2 + 2  x = x  INFINITAS SOLUCIONES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplos 4. Resolver la ecuación: x --- – 2 = 6 3 Sumo 2 a ambos lados, quedando: x / 3 = 6 + 2  x / 3 = 8 Multiplico todo por 3, quedando: x = 3.8  x = 24 5. Resolver la ecuación: 2.x ------ – 2 = x – 6 Multiplicamos ambos lados por 3, quedando: 3.[(2.x / 3) – 2] = 3.( x – 6)  2.x – 6 = 3.x - 18 Restamos 2.x a ambos lados, quedando: 2.x – 6 – 2.x = 3.x - 18 – 2.x  - 6 = x - 18 Sumamos 18 a ambos lados, quedando: – 6 + 18 = x - 18 + 18  12 = x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

ECUACIONES CUADRÁTICAS ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO También llamada ecuación cuadrática. Es aquella que, tras pasar todo el segundo miembro de una igualdad al primero, el polinomio característico es de grado 2. Tiene la forma a.x2 + b.x + c = 0 Donde a, b y c son números; y siempre a<>0 Pueden darse varios casos: CASO 1.- a = 0 NO SERÍA ECUACIÓN CUADRÁTICA. CASO 2.- b = 0 y c = 0 Solución única: x = 0 CASO 3.- b = 0 a.x2 + c = 0 INCOMPLETA CASO 4.- c = 0 a.x2 + b.x = 0 INCOMPLETA CASO 5.- b<>0, c<>0 a.x2 + b.x + c = 0 COMPLETA @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Soluciones de una ecuación SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Las soluciones de una ecuación de segundo grado son los valores de x que al ser sustituidos verifican la ecuación. EJEMPLOS DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN Sea x2 - 3.x + 2 = 0 Si x = 1 12 - 3.1 + 2 = 0  1 – 3 + 2 = 0  0 = 0 x = 1 es una solución. Si x = 2 22 - 3.2 + 2 = 0  4 – 6 + 2 = 0  0 = 0 x = 2 es otra solución. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Equivalencia de ecuaciones Dos ecuaciones de segundo grado son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. EJEMPLOS DE ECUACIÓN EQUIVALENTE Sea x2 - 3.x + 2 = 0 x = 1 y x = 2 son las dos soluciones de la ecuación. 3.x2 - 9.x + 6 = 0 Es equivalente a la primera. 2.x2 - 6.x + 4 = 0 Es equivalente a la primera. - 5.x2 + 15.x – 10 = 0 Es equivalente a la primera. Y así miles de ellas. ¿Cómo se hacen ecuaciones equivalentes? Antes de resolver una ecuación hay que simplificarla, transformarla en una ecuación equivalente. En general dividiendo todo entre el valor de a. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

ECUACIONES OBVIAS CASO 1 Tiene la forma b.x + c = 0 a = 0  NO son ecuaciones cuadráticas, son lineales. Ejemplos 4.x + 5 = 0  a = 0, b = 4, c = 5  E. LINEAL – 3.x + 1 = 0  a = 0, b = – 3 , c = 1  E. LINEAL CASO 2 Tiene la forma a.x2 = 0 Resolución: x2 = 0/a  x2 = 0  x = +/- √0 = 0  x = 0 4.x2 = 0 Resolución: x2 = 0/4  x2 = 0  x = +/- √0 = 0  x = 0 – 5.x2 = 0 Resolución: x2 = 0/(– 5)  x2 = 0  x = +/- √0 = 0  x = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

ECUACIÓN INCOMPLETA CASO 3 Tiene la forma a.x2 + c = 0 Resolución: Paso 1.- a.x2 = - c Paso 2.- x2 = - c / a Paso 3.- x = +/- √ (- c / a) Dándonos las dos raíces si existen. EJEMPLO 1 Sea x2 - 4 = 0 Resolución: x2 = 4  x = +/- √ 4  x = +/- 2 x1 = + 2 x2 = - 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

ECUACIÓN INCOMPLETA EJEMPLO 2 Sea 2.x2 - 18 = 0 Resolución: Simplificamos: x2 – 9 = 0  x2 = 9  x = +/- √ 9 Dándonos las dos raíces: x1 = + 3 , x2 = - 3 EJEMPLO 3 Sea 9.x2 - 16 = 0 Resolución: 9.x2 = 16  x2 = 16 / 9  x = +/- √ (16 / 9) Dándonos las dos raíces: x1 = + 4/3 , x2 = - 4/3 EJEMPLO 4 Sea 5.x2 - 10 = 0 Resolución: Simplificamos: x2 – 2 = 0  x2 = 2  x = +/- √2 Dándonos las dos raíces: x1 = + √2 , x2 = - √2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

ECUACIÓN INCOMPLETA CASO 4 Tiene la forma a.x2 + b.x = 0 Resolución: Clave: Sacar factor común a x. Paso 1.- x . (a.x + b ) = 0 Paso 2.- x = 0 es un raíz Paso 3.- a.x + b = 0 de donde x = - b / a es otra raíz EJEMPLO 1 Sea 2.x2 + 8.x = 0 Resolución: 2.x . (x + 4 ) = 0  x = 0 es una raíz x + 4 = 0  x = - 4 es la otra raíz x1 = 0 ,, x2 = - 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

ECUACIÓN INCOMPLETA EJEMPLO 2 Sea 4.x2 -- 3.x = 0 x . (4.x – 3) = 0  x = 0 es una raíz 4.x – 3 = 0  4.x = 3  x = 3 / 4 es otra raíz x1 = 0 x2 = 3 / 4 = 0,75 EJEMPLO 3 Sea 3.x2 - 8.x = 0 x . (3.x - 8 ) = 0  x = 0 es una raíz 3.x - 8 = 0  3.x = 8  x = 8 / 3 es la otra raíz x2 = 8 / 3 Nota: Observar que a<>1 por tener raíces fraccionarias. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.