NÚMEROS COMBINATORIOS U.D. 2 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT VARIACIONES U.D. 2.1 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT COMBINATORIA La Combinatoria es la parte del Algebra que estudia los distintos grupos que se pueden formar con cierto número de objetos. La Combinatoria prescinde de la naturaleza de los objetos, pero no del orden en que están colocados, considerando todos los objetos como diferentes. Al número de elementos de que disponemos se le llama base, mientras que el número de elementos que de ellos tomamos para formar grupos se llama orden de la agrupación (binarias, ternarias, cuaternarias, etc). Según la forma de agrupar los distintos elementos de un conjunto tendremos: VARIACIONES CON Y SIN REPETICIÓN PERMUTACIONES CON Y SIN REPETICIÓN COMBINACIONES CON Y SIN REPETICIÓN @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Las claves de la Combinatoria Lo más difícil de la Combinatoria es distinguir entre variaciones, permutaciones y combinaciones, y después discernir si son no con repetición. En las dos primeras (variaciones y permutaciones) la clave estará en el orden de colocación de los elementos. En la tercera (combinaciones) la clave estará en la ausencia de orden, importando el conjunto de dichos elementos. En la primera forma de agruparlos (variaciones) se toman parte de los elementos de un conjunto, mientras que en la segunda forma (permutaciones) se toman todos los elementos del conjunto. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT DIAGRAMA DEL ÁRBOL Se lanzan tres monedas al aire. ¿Cuántos resultados posibles puede haber?.¿Qué son?. 1ª Moneda 2ª Moneda 3ª Moneda El nº total de resultados es: N=2.2.2 = 23 = 8 Como se puede repetir C y X habrá repetición. Como importa el orden, pues no es lo mismo XCC que CXC, no serán combinaciones. Serán variaciones con repetición. C CCC C X CCX C CXC C X X CXX C XCC C X XCX X C XXC X X XXX @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT DIAGRAMA DEL ÁRBOL Un cartero lleva tres cartas a unas viviendas con siete buzones. Como tiene prisa, las distribuye al azar. ¿Cuántos resultados posibles puede haber?.¿Qué son?. . B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 . C2 C3 . C1 C3 C2 . C1 C3 . C2 C3 C1 . C1 C2 . C3 C2 C1 Vemos que los buzones 4 al 7 se quedan sin cartas, y además vemos que ningún buzón tiene 2 o 3 cartas. Este esquema no vale para resolver el ejercicio. Probamos con otro esquema. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT . C1 C2 C3 . B1 . B1 B2 . B3 . B2 B4 B1 . B5 B2 . B3 B6 B3 En total habría 342 flechas, pues . B7 B4 en la primera columna habría 7 . B4 B5 elementos, en la segunda 49 (no . B6 solo los 7 señalados) y en la . B5 B7 tercera habría 343 (no solo los 7 . que se muestran). . B6 . . B7 Vemos ahora que el diagrama del árbol sí que funciona. Cualquier carta puede ser arrojada en cualquier buzón y cualquier buzón puede alojar hasta la totalidad de las tres cartas. El total de resultados es: N=7.7.7= 73 = 343 Variaciones con repetición @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

VARIACIONES ORDINARIAS ( SIN REPETICIÓN ) De m elementos tomados de n en n , son los diferentes grupos que con ellos se pueden formar, de modo que en cada grupo entren n elementos distintos y que un grupo se diferencie de los demás en alguno de los elementos o en el orden de colocación de los mismos. TIPO FORMULA EJEMPLOS VARIACIONES SIN REPETICIÓN m! V = --------- m,n (m-n)! Orden de prioridades al hacer lista compra Palabras de n letras con m letras distintas. Las 5 profesiones que más me interesan @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT EJEMPLO 1 Con las letras de la palabra AMOR, ¿cuántas palabras de tres letras distintas se pueden formar? Resolución: Importa el orden de colocación, no se cogen todas las letras y deben ser letras distintas… Luego son variaciones ordinarias V4,3 = 4!/(4-3)! = 4!/1! = 4.3.2.1/1 = 24 EJEMPLO 2 De las cinco carreras universitarias que me interesan, ¿de cuantas formas diferentes puedo ordenar tres de ellas para echar la solicitud de matrícula? Importa el orden de colocación, no se cogen las cinco carreras y serías absurdo repetir alguna de ellas… V5,2 = 5!/(5-3)! = 5!/2! = 5.4.3.2.1 / 2.1 = 120 / 2 = 60 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT EJEMPLO 3 Con los dígitos 2, 4, 6 y 8 ¿cuántos números de dos cifras diferentes puedo formar?. ¿En cuántos de ellos aparece el 8?. ¿Y el 2? ¿Cuánto vale la suma de todos los números así formados? Resolución: Importa el orden de colocación, no se cogen todos los dígitos y deben ser diferentes… Luego son variaciones ordinarias V4,3 = 4!/(4-3)! = 4!/1! = 4.3.2.1/1 = 24 Los dígitos se reparten por igual en los 24 números así formados. Por tanto 24 / 4 = 6 El 8 aparece en 6 de los 24 números, el 2 también en 6 de los 24 números. La suma de todos los 24 números será: S = 100. columna centenas + 10. columna decenas + columna unidades S = 100.(2.6 + 4.6 + 6.6 + 8.6) + 10.((2.6 + 4.6 + 6.6 + 8.6) + + (2.6 + 4.6 + 6.6 + 8.6) S = 100. 6 . 20 + 10 .6 .20 + 6 . 20 = 12.000 + 1.200 + 120 = 13.320 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

VARIACIONES CON REPETICIÓN De m elementos tomados de n en n , son los diferentes grupos que con ellos se pueden formar, de modo que en cada grupo entren n elementos, pudiendo alguno repetirse una o varias veces y considerando dos grupos distintos si se diferencian en alguno de los elementos o en el orden de colocación de los mismos. VARIACIONES CON REPETICIÓN n VR = m m,n Quinielas de fútbol o quinielas hípicas Lotería Nacional Repartir cartas en los buzones azar @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT EJEMPLO 1 Con las letras de la palabra MURCIELAGO, ¿cuántas palabras de siete letras se pueden formar? Resolución: Importa el orden de colocación, no se cogen todas las letras y no nos indican que deben ser letras distintas… Luego son variaciones con repetición VR10, 7 = 107 = 10.000.000 Con las letras de la palabra AMOR, ¿cuántas palabras de siete letras se pueden formar? Importa el orden de colocación, a la fuerza se deben repetir letras, y no tenemos por qué coger las cuatro letras que nos dan… VR4,7 = 47 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT EJEMPLO 3 Con las tres letras y cuatro cifras de una matrícula, ¿cuántas matrículas diferentes resultan? Resolución: Importa el orden de colocación, no se cogen todas las letras ( 26 ) ni todos los dígitos (10 ) y se pueden repetir letras y cifras… Luego son variaciones con repetición VR10, 4 = 104 = 10.000 para las cifras VR26,3 = 263 = 17.576 para las letras Por cada variación de letras habrá 10.000 variaciones de números En total se pueden hacer: 10.000. 263 = 175.760.000 matrículas diferentes. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT EJEMPLO 4 Con los dígitos 2, 4, 6 y 8 ¿cuántos números de dos cifras puedo formar?. ¿En cuántos de ellos aparece el 8?. ¿Y el 2? ¿Cuánto vale la suma de todos los números así formados? Resolución: Importa el orden de colocación, no se cogen todos los dígitos y pueden repetirse … Luego son variaciones con repetición VR4,3 = 43 = 4.4.4 = 64 Los dígitos se reparten por igual en los 64 números así formados. Por tanto 64 / 4 = 16 El 8 aparece en 16 de los 64 números, el 2 también en 16 de los 64 números. La suma de todos los 64 números será: S = 100. columna centenas + 10. columna decenas + columna unidades S = 100.(2.16 + 4.16 + 6.16 + 8.16) + 10.(2.16 + 4.16 + 6.16 + 8.16) + + (2.16 + 4.16 + 6.16 + 8.16) S = 100. 16 . 20 + 10 .16 .20 + 16 . 20 = 32.000 + 3.200 + 320 = 35.520 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT