FUNCIÓN Sean A y B dos conjuntos no vacios. Una función de A en B, es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de A un único elemento y de B. Se usan indistintamente los símbolos: f : A  B ó A  f  B x  y ≡ f(x) para expresar que "f" es una función de A en B y que además, al elemento x de A, le corresponde el elemento y (imagen de x mediante f) de B.

Por ejemplo Se tiene entonces: La imagen del elemento a mediante f es 5. Es decir, f(a) = 5 La imagen del elemento b mediante f es 3. Es decir, f(b) = 3 La imagen del elemento c mediante f es 7. Es decir, f(c) = 7 La imagen del elemento d mediante f es 0. Es decir, f(d) = 0 La imagen del elemento e mediante f es 5. Es decir, f(e) = 5.

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN Sea una función real de variable real. La gráfica de f es el conjunto de puntos tales que la pareja ordenada (x, y) pertenece a f. Es decir, Gráfica de f = { (x, y) / y = f(x), x pertenece D(f) } La exigencias de la definición que pide que todos los elementos x del conjunto de partida tengan una sola imagen, y= f(x), se traduce en la gráfica de la función de la siguiente manera: ninguna recta vertical puede cortar su gráfica en mas de un punto. (criterio de la recta vertical)

Cinco pasos para el análisis del gráfico de una función Primer paso: Dominio e Imagen Segundo paso: Intersección con los ejes Tercer paso: Signo de la función Cuarto paso: Crecimiento y decrecimiento Quinto paso: Pariedad y periodicidad Sexto paso: Analizar tendencias o Límites (Se verá en otra unidad)

Primer paso: Dominio: Domf = { x  IR / (x ; y )  f } ej.: Domf= (-;-3)(-3;5] Imagen: Imagf = { y  IR / (x ; y )  f } Ej.: Imagf = IR

Segundo paso: Intersección con los ejes cartesianos: Determinar la ORDENADA AL ORIGEN f  eje y = { ( 0 ; f( 0 )) } (observar el eje de ORDENADAS) Determinar los CEROS O RAÍCES f  eje x = { (x ; y ) / x  IR , y=f(x)= 0} (observar el eje de ABSCISAS)

Tercer paso Conjunto de ceros y signo x = x0 es cero o raíz de f si y solo si f(x0) = 0 Conjunto de ceros de una función C0= {x  domf / f( x ) = 0 } Conjunto de positividad de la función C+= {x  domf / f( x ) > 0 } Conjunto de negatividad de la función C_= {x  domf / f( x ) < 0 }

Cuarto paso: Crecimiento y decrecimiento f: A  B / y = f ( x ) es estrictamente creciente en A si y solo si  x1  A y  x2  A se cumple que: x1 < x2  f( x1) < f( x2) f: A  B / y = f ( x ) es estrictamente decreciente en A si y solo si  x1  A y  x2  A se cumple que: x1 < x2  f( x1) > f( x2)

Quinto paso: Pariedad y periodicidad f es par   x  domf: f( x ) = f( - x ) f es impar   x  Domf: f( x ) = - f( - x ) f es periódica   x  domf: f( x ) = f( x + k ) K  IR

Análisis del gráfico de una función: Dominio: Domf = { x  IR / (x ; y )  f } Imagen Imagf = { y  IR / (x ; y )  f } Intersección con los ejes cartesianos f  eje y = { ( 0 ; f( 0 )) } f  eje x = { (x ; y ) / x  IR , Y = 0} Conjunto de ceros y signo x = x0 es cero o raíz de f si y solo si f(x0) = 0 Conjunto de ceros de una función C0= {x  domf / f( x ) = 0 } Conjunto de positividad de la función C+= {x  domf / f( x ) > 0 } Conjunto de negatividad de la función C_= {x  domf / f( x ) < 0 } Crecimientos y Decrecimiento f: A  B / y = f ( x ) es estrictamente creciente en A si y solo si  x1  A y  x2  A se cumple que: x1 < x2  f( x1) < f( x2) f: A  B / y = f ( x ) es estrictamente decreciente en A si y solo si  x1  A y  x2  A se cumple que: x1 < x2  f( x1) > f( x2) Las funciones crecientes o decrecientes, en sentido amplio o estricto, se denominan monótonos. En algunas funciones se da que en parte del dominio es creciente y otra es decreciente. Pariedad: f es par   x  domf : f( x ) = f( - x ) f es impar   x  domf : f( x ) = - f( - x ) Función periódica: f es periódica con priodo K   x  domf : f( x ) = f( x + k)

Ahora la tan ansiada tarea: Completar el análisis a las siguientes gráficas de funciones