APLICACIONES DE LAS FUNCIONES U. D. 12 * 4º ESO E. AC. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Aplicaciones de funciones exponenciales U. D. 12.5 * 4º ESO E. AC. Aplicaciones de funciones exponenciales @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Costes de producción El coste, en euros, para producir entre 50 y 250 unidades de un cierto artículo, viene dado por la función: Siendo x la cantidad de unidades producidas y C(x) el coste en euros a) ¿Qué cantidad de artículos hemos producido si sabemos que el coste ha sido de 10000 €? b) ¿Cuántas unidades se deben producir para que el coste sea mínimo?. c) ¿Qué vale dicho coste mínimo y a qué precio debemos vender cada unidad para, al menos, cubrir los costes de producción?. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Costes de producción Resolución a) 10000 = 0,25.x2 – 45.x + 8000  0,25.x2 – 45.x – 2000 = 0 Resolviendo la ecuación: x = [ 45 ± √(2025 + 2000)] / 0,50 =[ 45 ± 63 ] / 0,50 = 216 unidades Es una solución válida al estar comprendida entre 50 y 250. La otra solución, negativa, no vale por el carácter del enunciado. b) El mínimo coste, valor de f(x) estará en el vértice: x = - b / 2.a = – ( – 45) / 2.0,25 = 90 unidades. c) C(90) = 0,25.902 – 45.90 + 8000 = 2025 – 4050 + 8000 = 5975 € El precio de venta mínimo será de 5975 / 90 = 66,40 € / unidad @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Demografía Sea la población de Valladolid a lo largo de los últimos 10 años, dado en forma de tabla y en miles de habitantes. Año 1992 1994 1996 1998 2000 Habitantes 360 365 375 390 410 Deducir si f(x) es una función lineal o cuadrática. Siendo x el año y f(x) los habitantes. De seguir esa tendencia, calcular la población en el año 2016. Resolución Miramos si hay función lineal comparando las pendientes entre distintos puntos de la función: m=(365-360)/(1994-1992)=5/2=2,5 m=(375-365)/(1996-1994)=10/2=5 Las pendientes no coinciden.  No es una función lineal (ni afín). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Demografía … Resolución Veamos si estamos frente a una función cuadrática. y  360 365 375 390 410 Δy  5 10 15 20 Δ2y  5 5 5 Los incrementos de x son constante, pues la variables independiente se incrementa de dos en dos años. Vemos Δx=2=Cte Como además, el incremento de los incrementos de la variable dependiente, y, también es constante: Δ2y =5=Cte Podemos afirmar que estamos ante una Función cuadrática. Siguiendo (continuando estirando hacia la derecha) el esquema realizado podemos obtener la población en 2016. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Especies protegidas El número de osos blancos de una determinada zona del planeta vendrá dado por la siguiente función: f(t) = 250.log [(900 t + 130) / (13 + t)] Siendo t el tiempo transcurrido en años. a) ¿Cuál es el número actual de osos?. b) ¿Se llegará a estabilizar la población de osos?. Resolución a) Actualmente: t=0 f(0) = 250.log [(900.0 + 130) / (13 + 0)] = = 250.log(130 / 13) = 250.log 10 = 250.1 = 250 b) Suponiendo la función válida de modo indefinido: f(t) = 250.log [900 – 10400 / (t + 13)]  Asíntota horizontal. f(oo) = 250.log [900 – 0] f(oo) = 250.log 900 = 250.2,954 = 738 Se estabiliza en 738 osos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Consumo de gasolina El consumo de gasolina de un automóvil corresponde a un polinomio de segundo grado donde la variable es el número de revoluciones por minuto del motor ( r.p.m. aproximadamente la velocidad ). Si un coche consume 6 litros a 90 Km/h, 7 litros a 110 km /h y 8,5 litros a 130 km/h, calcula lo que consumiría a la velocidad de 200 km/h. Resolución F(x) = a.x2 + b.x + c, al decirnos que es función cuadrática. 6 = a.902 + b.90 + c  8100.a + 90.b + c = 6 7 = a.1102 + b.110 + c  12100.a + 110.b + c = 7 8,5 = a.1302 + b.130 + c  16900.a + 130.b + c = 8,5 Resulta un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Restando entre sí de dos en dos, se nos va la incógnita c. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Restando ambas queda: 4000.a + 20.b = 1 16900.a + 130.b + c = 8,5 … Resolución 8100.a + 90.b + c = 6 12100.a + 110.b + c = 7 Restando ambas queda: 4000.a + 20.b = 1 16900.a + 130.b + c = 8,5 Restando ambas queda: 4800.a + 20.b = 1,5 Resulta un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Restando entre ambas ecuaciones, se nos va el término 20.b Queda: 800.a = 0,5  a = 1/1600 = 0,000625 Sustituyendo ese valor en una de ellas: 40.0,000625 + 20.b =1   20.b = 1 – 0,025  b = 0,975/20 = 0,04875 Y finalmente sustituyendo ambos valores podemos hallar el valor de c: 8100.0,000625 + 90.0,04875 + c = 6  c = 6 – 5,0625 – 4,3875 = – 3,45 Luego f(x) = 0,000625.x2 + 0,04875.x – 3,45 es la función del consumo Por tanto, para una velocidad de 200 km/h: f(200) = 0,000625.2002 + 0,04875.200 – 3,45 = 25 + 9,75 – 3,45 = 31,3 l/100 km . @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Existencias A lo largo de la semana un comercio recibe y vende las siguientes cantidades de un determinado artículo. Pero el viernes, por prisas de fin de semana, se olvidó de realizar el apunte. Estima las cantidades mediante las correspondientes funciones. Resolución 1: Recibe Vemos que la variable días (numerados: 1, 2, 3, 4, …) crece, mientras la variable cantidad recibida crece de forma que estimamos proporcional, por lo cual nos vemos ante una función lineal: f(x) = m.x + n Por la ecuación punto-pendiente: y – yo = m.(x – xo) y – 12 = [(19 – 12) / (3 – 1)].(x – 1)  y – 12 = 3,5·(x – 1) f(x) = 3,5·x + 8,5  Luego f(Viernes) f(5) = 3,5·5 + 8,5 = 26 artículos   LUNES MARTES XCOLES JUEVES VIERNES RECIBE 12 16 19 23 VENDE 6 8 15 25 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Tomando los tres primeros datos conocidos: Resolución 2: Vende Vemos que la variable días (numerados: 1, 2, 3, 4, …) crece, mientras la variable cantidad vendida crece de forma no proporcional, por lo que estimamos que estamos ante una función cuadrática: f(x) = a.x2 + b.x + c Tomando los tres primeros datos conocidos: 6 = a.12 + b.1 + c  a + b + c = 6 8 = a.22 + b.2 + c  4·a + 2·b + c = 8 15 = a.32 + b.3 + c  9·a + 3·b + c = 15 Restando dos a dos: 3·a + b = 2 5·a + b = 7 Restando ambas: 2·a = 5  a = 2,5  b = 2 – 3·a = 2 – 7,5 = – 5,5  c = 6 – a – b = 6 – 2,5 – (– 5,5) = 6 – 2,5 + 5,5 = 9 La función que podemos asignar a las ventas es: f(x) = 2,5·x2 – 5,5·x + 9 Comprobamos: f(4) = 2,5·42 – 5,5·4 + 9 = 40 – 22 + 9 = 27 Como el valor real(25) está muy próximo damos por buena la función. Luego f(5) = 2,5·52 – 5,5·5 + 9 = 62,5 – 27,5 + 9 = 44 artículos @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Valor depreciado Y Valor de un coche en función de los años transcurridos desde su adquisición. ¿Es esta función de proporcionalidad inversa o es una función exponencial?. Deducir la función. 2500 € 2000 2000 € 1500 1600 € 1000 1280 € 1024 € 819 € 500 X 0 3 6 9 12 15 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.