Matemáticas 1º Bachillerato CT ECUACIONES Y SISTEMAS Tema 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

FRACCIONES ALGEBRAICAS U.D. 4.4 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

FRACCIONES ALGEBRAICAS FRACCIÓN ALGEBRAICA es el cociente de dos polinomios. P(x) / Q(x) , siendo el denominador un polinomio no nulo. Ejemplos de fracciones algebraicas: 1 0 y – 3 x2 + x ------ ; ----------- ; ----------- ; --------------- x – 2 5 – x x2 + 4 1 – 3y3 No son fracciones algebraicas: x + e 3x √x – 3 x2 + 3/x -------- ; ----------- ; ----------- ; --------------- 0 5 – x x2 + 4 1 – x Para operar con fracciones se siguen las leyes aritméticas, con la diferencia ahora que el mcm de los denominadores es el mcm de polinomios, no de números reales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Descomposición factorial Sea P(x)= (x – 2).(x – 3).(x + 3)2 Está factorizado al máximo, está descompuesto en sus factores primos. (x – 2) y (x – 3) son primos entre sí. Sea P(x)= (x2 – 9 ). (x3 – 8 ) Sabemos que (x2 – 9 ) es una diferencia de cuadrados: (x2 – 9 ) = (x + 3).(x – 3) Vemos que el 2 es raíz de (x3 – 8 ): (x3 – 8 ) = (x – 2).C(x) = (x – 2).(x2 + 2.x + 4) Y se factorizan al máximo: Sea P(x)= (x – 3).(x + 3).(x – 2).(x2 + 2.x + 4) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT SIMPLIFICCIÓN Para que una fracción racional P(x) / Q(x) se pueda simplificar debe haber, al menos un factor común entre P(x) y Q(x). Para saber si hay factores comunes factorizaremos los polinomios. Sean P(x) = (x – a).(x – b).(x – c)…(x – k) y Q(x) = (x – a).(x – b).(x – m).(x – n) … (x – h) Y si los hay se simplifica la fracción algebraica que forman: P(x) (x – a).(x – b).(x – c)…(x – k) ------ = --------------------------------------------------- Q(x) (x – a).(x – b).(x – m).(x – n) … (x – h) P(x) (x – c) … (x – k) Quedando: ------ = --------------------------------- Q(x) (x – m).(x – n) … (x – h) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT EJEMPLO_1 Sea P(x) (x – 2).(x – 3).(x + 3)2 ------ = -------------------------------- Q(x) (x + 2).(x + 3).(x – 3)3 Eliminamos de la expresión los factores comunes, quedando: P(x) (x – 2).(x + 3) ------ = ---------------------- Q(x) (x + 2).(x – 3)2 EJEMPLO_2 Sea P(x) x5 + x4 – 8.x3 – 5.x2 - 25.x – 14 ------ = ------------------------------------------- , que factorizamos: Q(x) x3 – 4.x2 + 5.x – 2 P(x) (x – 1)2 .(x – 2 ).(x2 + 5.x + 7) ------ = ---------------------------------------- = x2 + 5.x + 7 Q(x) (x – 1)2 .(x – 2 ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Común denominador Para multiplicar o dividir fracciones NO se precisa realizar el m.c.m. o común denominador de los denominadores. Para sumar o restar fracciones el común denominador de los denominadores puede ser el producto de los mismos. Pero no es nada recomendable. Para sumar o restar fracciones el común denominador debe ser el m.c.m. de los denominadores. Ejemplo x – 2 x + 4 (x + 2).(x – 2) + (x – 3).(x + 4) ----------- + ------------------- = ----------------------------------------- = ……… (x – 3)2 (x – 3).(x+2) (x – 3)2 .(x+2) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Mínimo común múltiplo: MCM El mínimo común múltiplo de dos o más polinomios, es el menor de los polinomios múltiplos comunes. Se forma tomando los factores comunes y no comunes a todos los polinomios con el mayor exponente que presenten. Ejemplo_1 Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x – 3)2 .(x + 2)3 , Q(x) = (x – 3)3 .(x + 2). (x + 1) MCM = (x – 3)3 .(x + 2)3 .(x + 1) Ejemplo_3 P(x) = (x – 3)5 , Q(x) = (x – 3) . (x + 1) MCD = (x – 3)5 (x + 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

OPERACIONES CON FRACCIONES Para operar con fracciones se siguen las leyes aritméticas, con la diferencia ahora que el mcm de los denominadores es el mcm de polinomios, no de números reales. Ejemplo_1 x 4 - x x + 4 - x 4 ------- + -------------- = --------------- = ---------- x – 3 x – 3 x – 3 x – 3 Ejemplo_2 1 x + 2 1 x + 2 ------- + ------------------ = ----------- + ------------------- = x – 3 x2 – 9 (x – 3) (x + 3).(x – 3) x + 3 x + 2 2.x + 5 2.x + 5 ------------------- + ------------------ = -------------------- = --------------- (x – 3).(x + 3) (x – 3).(x + 3) (x + 3).(x – 3) x2 – 9 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo_3 x 7.x - 9 x 7.x - 9 ------- -- ------------------ = ----------- -- -------------------- = x – 3 x2 – 2x – 3 x – 3 (x – 3).(x + 1) M.c.m. =(x – 3).(x + 1) x. (x+1) - (7.x – 9 ) x2 + x – 7.x + 9 x2 - 6.x + 9 = ---------------------------- = ------------------------ = ------------------- = (x – 3).(x + 1) (x – 3).(x + 1) (x – 3).(x + 1) Se factoriza el numerador siempre que sea posible: (x – 3).( x – 3) x – 3 = --------------------- = ---------- , que es la solución simplificada. (x – 3).(x + 1) x + 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo_4 x x2 – 9 x.(x2 – 9) x.(x + 3).(x – 3) x.(x + 3) ------- . ----------- = ------------------ = --------------------- = --------------- x – 3 x + 1 (x – 3).(x +1) (x – 3).(x +1) x + 1 Ejemplo_5 x2 – 4 x2 – 9 (x + 2).(x – 2).(x + 3).(x – 3) --------- . ----------- = --------------------------------------- = (x – 2).(x – 3) x + 3 x + 2 (x + 3).(x +2) Ejemplo_6 x – 4 9 – y2 (x – 4).(3 + y).(3 – y) 3 – y -------- . ------------ = ------------------------------ = ---------- y + 3 x2 – 16 (y + 3).(x + 4).(x – 4) x + 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplo_7 x – 1 x + 3 (x – 1).(x + 1) x2 – 1 ------- : ----------- = ------------------ = ---------- x – 3 x + 1 (x – 3).(x + 3) x2 – 9 Ejemplo_8 x2 – 4 x – 2 (x + 2).(x – 2).(x + 3).(x – 3) --------- : ----------- = --------------------------------------- = (x + 2).(x + 3) x – 3 x2 – 9 (x – 3).(x – 2) Ejemplo_9 x – y x2 – y2 (x – y).(x + y) 1 ---------- : ----------- = ------------------------------------ = ------------------ y2 – x2 x + y (y + x).(y – x).(x + y).(x – y) (y + x).(y – x) Nota: Para dividir mejor multiplicar al dividendo el opuesto al divisor. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT