U.D. 12 * 3º ESO E.AC. FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

PROBLEMAS CON FUNCIONES CUADRÁTICAS U.D. 12.10 * 3º ESO E.AC. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Matemáticas Aplicadas CS I Costes de producción El coste, en euros, para producir entre 50 y 250 unidades de un cierto artículo, viene dado por la función: Siendo x la cantidad de unidades producidas y C(x) el coste en euros a) ¿Qué cantidad de artículos hemos producido si sabemos que el coste ha sido de 10000 €? b) ¿Cuántas unidades se deben producir para que el coste sea mínimo?. C) ¿Qué vale dicho coste mínimo y a qué precio debemos vender cada unidad para, al menos, cubrir los costes de producción?. @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Costes de producción Resolución a) 10000 = 0,25.x2 – 45.x + 8000  0,25.x2 – 45.x – 2000 = 0 Resolviendo la ecuación: x = [ 45 ± √(2025 + 2000)] / 0,50 =[ 45 ± 63 ] / 0,50 = 216 unidades Es una solución válida al estar comprendida entre 50 y 250. La otra solución, negativa, no vale por el carácter del enunciado. b) El mínimo coste, valor de f(x) estará en el vértice: x = - b / 2.a = – ( – 45) / 2.0,25 = 90 unidades. c) C(90) = 0,25.902 – 45.90 + 8000 = 2025 – 4050 + 8000 = 5975 € El precio de venta mínimo será de 5975 / 90 = 66,40 € / unidad @ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Demografía Sea la población de Valladolid a lo largo de los últimos 10 años, dado en forma de tabla y en miles de habitantes. Año 1992 1994 1996 1998 2000 Habitantes 360 365 375 390 410 Deducir si f(x) es una función lineal o cuadrática. Siendo x el año y f(x) los habitantes. De seguir esa tendencia, calcular la población en el año 2016. Resolución Miramos si hay función lineal comparando las pendientes entre distintos puntos de la función: m=(365-360)/(1994-1992)=5/2=2,5 m=(375-365)/(1996-1994)=10/2=5 Las pendientes no coinciden.  No es una función lineal (ni afín). @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Demografía … Resolución Veamos si estamos frente a una función cuadrática. y  360 365 375 390 410 Δy  5 10 15 20 Δ2y  5 5 5 Los incrementos de x son constante, pues la variables independiente se incrementa de dos en dos años. Vemos Δx=2=Cte Como además, el incremento de los incrementos de la variable dependiente, y, también es constante: Δ2y =5=Cte Podemos afirmar que estamos ante una Función cuadrática. Siguiendo (continuando estirando hacia la derecha) el esquema realizado podemos obtener la población en 2016. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Gráfica Sea f(x) = – x2 + 5.x + 14 Hallar: Dominio, recorrido, cortes con los ejes, máximo o mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad, simetría, … Realizar una tabla de valores y dibujarla. Resolución Como a = - 1 < 0  Convexa. Corte con OY: x = 0  f(0) = - 0 + 0 + 14 = 14  Pc(0, 14) Corte con OX: f(x)=0  0 = – x2 + 5.x + 14 Resolviendo la ecuación de segundo grado: x = [ -5 +/- V(25+56)]/(-2); x = (-5 +/- 9)/(-2)  x1 = – 2 , x2 = 7  Pc( -2 , 0) y Pc( 7, 0) Máximo local, relativo y absoluto = Vértice xV = – b / 2.a = x1 = – 5 / 2.(– 1) = 2,5  V (2,5 , 20,25) Es creciente hasta x = 2,5; y después es decreciente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Gráfica Sea f(x) = – x2 + 5.x + 14 Realizar una tabla de valores y dibujarla. Resolución x y -3 -38 -2 0 0 14 1 18 2,5 20,25 4 18 7 0 8 -38 30 20 10 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Consumo de gasolina El consumo de gasolina de un automóvil corresponde a un polinomio de segundo grado donde la variable es el número de revoluciones por minuto del motor ( r.p.m. aproximadamente la velocidad ). Si un coche consume 6 litros a 90 Km/h, 7 litros a 110 km /h y 10 litros a 130 km/h, calcula lo que consumiría a la velocidad de 200 km/h. Resolución F(x) = a.x2 + b.x + c, al decirnos que es función cuadrática. 6 = a.902 + b.90 + c  8100.a + 90.b + c = 6 7 = a.1102 + b.110 + c  12100.a + 110.b + c = 7 10 = a.1302 + b.130 + c  16900.a + 130.b + c = 10 Resulta un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Restando entre sí de dos en dos, se nos va la incógnita c. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I … Resolución 8100.a + 90.b + c = 6 12100.a + 110.b + c = 7 Restando ambas queda: 4000.a + 20.b = 1 16900.a + 130.b + c = 10 Restando ambas queda: 4800.a + 20.b = 3 Resulta un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Restando entre ambas ecuaciones, se nos va el término 20.b Queda: 800.a = 2  a = 1/400 = 0,0025 Sustituyendo ese valor en una de ellas: 40.0,0025 + 20.b =1   20.b = 1 – 0,1  b = 0,9/20 = 0,045 Y finalmente sustituyendo ambos valores podemos hallar el valor de c: 8100.0,0025 + 90.0,045 + c = 6  c = 6 – 20,25 – 4,05 = – 18,30 Luego f(x) = 0,0025.x2 + 0,045.x – 18,30 es la función cuadrática consumo Por tanto, para una velocidad de 200 km/h: f(200) = 0,0025.2002 + 0,045.200 – 18,30 = 100 + 9 – 18,30 = 90,7 l/100 km . @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Existencias PROBLEMA DOBLE PROPUESTO A lo largo de la semana un comercio recibe y vende las siguientes cantidades de un determinado artículo. Pero el viernes, por prisas de fin de semana, se olvidó de realizar el apunte. Estima las cantidades mediante las correspondientes funciones.   LUNES MARTES XCOLES JUEVES VIERNES RECIBE 12 16 20 24 VENDE 6 9 15   LUNES MARTES XCOLES JUEVES VIERNES RECIBE 12 16 20 24 VENDE 6 9 15   LUNES MARTES XCOLES JUEVES VIERNES RECIBE 12 16 20 24 VENDE 6 9 15   LUNES MARTES XCOLES JUEVES VIERNES RECIBE 12 16 20 24 VENDE 6 9 15 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I