Apuntes de Matemáticas 4º ESO ÁREAS Y VOLÚMENES U. D. 9 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 4º ESO

Apuntes de Matemáticas 4º ESO PROBLEMAS U. D. 9.8 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 4º ESO

PROBLEMA_1 Tenemos la maqueta de un edificio piramidal de base hexagonal, pero con la escala borrada. Hemos podido medir las distancias que se muestran en el dibujo, realizadas sobre la maqueta. Sabemos que el volumen del edificio real es de 507,44 m3. Hallar las medidas reales del edificio. Medidas que tenemos de la maqueta: Lado base: l = 5 cm Altura pirámide: h = 12 cm Arista de la pirámide: a = 13 cm Resolución Calculo el área de la base hexagonal: A = p.ap / 2 Perímetro p = 6.l = 6.5 = 30 Apotema de la base: ap= l.√3/2 = 2,5.√3 A = 30.2,5√3/2 = 64,95 cm2 Volumen: V = Sb.h/3 = 64,95.12/3 = 259,81 cm3 a h l @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Resolución_1 … Resolución El volumen de la maqueta me ha dado: Volumen: V = 259,81 cm3 Como está a escala: Vd 259,81 cm3 259,81 cm3 ---- = k  ---------------- = ----------------------- = Vr 507,44 m3 507440000 cm3 1 k = -----------------, que es la razón de volumen, 1 953 125 Como k = r3  r = 1 / 125 Las medidas lineales reales son 125 veces las de la maqueta: L = 5.125 = 625 cm = 6,25 m H = 12.125 = 1500 cm = 15 m a h l @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

PROBLEMA_2 Si el radio de la esfera inscrita en un cubo mide 1 m, ¿cuánto mide la arista del cubo? ¿Y el radio de la esfera circunscrita a él? a r=1 m R @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Resolución_2 La arista del cubo que contiene a la esfera inscrita en él es obvio que mide lo mismo que el diámetro de la esfera: a=d=2.r = 2.1 = 2 cm La diagonal de una cara del cubo será: d2 = 22 + 22  d = √8 = 2. √2 m Partiendo el cubo en dos: (Ver figura) Visualizando el triángulo: Un cateto = r = 1 Otro cateto = d/2 = √2 Hipotenusa = R Y hallamos R = Radio esfera circunscrita R2 = 12 + (√2)2 = 1 + 2 = 3 R = √3 m r=1 m R a=2 m d=2.√2 m @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

PROBLEMA_3 Hallar el volumen de la figura. b=6 cm a=4 cm Resolución_3 Se visualiza el problema. Se idealiza el triángulo rectángulo: Tg 75º = h / b 3,730 = h / 6 Luego h = 6.3,7320 = 22,39 V = Sb.h V= 4.6.22,39 V= 537,415 cm3 b=6 cm a=4 cm 75º h @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

PROBLEMA_4 Hallar el área lateral y el volumen de la figura. Resolución_4 Se visualiza el problema. Se idealiza el triángulo rectángulo: Un cateto: h Otro cateto: R – r R – r = 4 – 3 = 1 Tg 60º = h / 1 h = tg 60º = √3 g= √(1+3)= 2 cm Al= π.(R+r).g = π.(4+3).2 = 14.π cm2 V = (1/3).(SB + Sb + √(SB.Sb)).h= V= (1/3).(π.16+ π.9+ √(π.16.π.9)). √3 = V= (√3/3).(25.π+ 12.π) = V= 37.π.√3 / 3 = 67,11 cm3 d=6 cm g h 60º D=8 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

PROBLEMA_5 Un cono presenta un área lateral de π 2 m2 La altura sabemos que es el doble del diámetro de la base. Hallar el radio de la base y la altura del cono. Hallar el ángulo del sector circular que forma el área lateral. El área lateral es: Al = π.r.g También sabemos que h = 2.d=4.r Por Pitágoras: g = √ [ r2 + h2 ] g =√ [ r2 + (4.r)2 ] Sustituyendo en el área: π2 = π.r. √ (r2 + 16.r2) Elevando todo al cuadrado: π4 = π2.r2 [ r2 + 16.r2 ] g h r @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E.AP.

Resolución_5 Operando… r 100 = 10.r2 (17.r2 ) 100 = 170. r4 De donde r4 = 100 / 170 = 10 / 17 4 Luego r = √ 10/17 = 0,876 cm Y por tanto: h = 4.r = 4.0,876 = 3,5 cm Como g = √ 17.r2  g = 3,61 cm Por último: n = 360.r / g = 360.0,876 / 3,61 = 87,36º r A=л.r.g A=л.r2.n / 360 g @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E.AP.