ECUACIONES U. D. 4 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

ECUACIONES BICUADRADAS U. D. 4.2 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ecuación de 2º grado completa CASO 5 Tiene la forma: a.x2 + b.x + c = 0 Donde a, b y c son distintos de cero. Se resuelven aplicando la fórmula: - b +/- √(b2 – 4.a.c) Con el signo “+” se obtiene x1 x = ---------------------------- = 2.a Con el signo “–” se obtiene x2 Deducimos la fórmula … @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Deducción de la fórmula Sea la ecuación cuadrática: a.x2 + b.x + c = 0 1.‑ Restamos c a ambos términos: a.x2 + b.x = ‑c 2.‑ Multiplicamos por 4.a a todo: 4. a2 x2 + 4.a.b.x = ‑ 4.a.c 3.‑ Sumamos b2 a ambos términos: 4. a2 x2 + 4.a.b.x + b2 = b2 ‑ 4.a.c (2.a.x + b)2 = b2 ‑ 4.a.c 4.‑ Extraemos la raíz cuadrada: 2.a.x + b = +/- √ (b2 ‑ 4.a.c) 5.‑ Restamos b a los dos términos: 2.a.x = ‑ b +/- √ (b2 ‑ 4.a.c) 6.‑ Dividimos a ambos términos entre 2.a: ‑ b +/- √ (b2 ‑ 4.a.c) x = ---‑-------‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ 2.a Con el signo “+” hallamos una raíz y con el “-” la otra. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplo Sea la ecuación 2.x2 -10.x + 12= 0 Donde: a=2, b = -10, c=12 Podemos simplificarla, pero no lo hacemos. 1.‑ Restamos c=12 a ambos términos: 2.x2 - 10.x = ‑ 12 2.‑ Multiplicamos por 4.a=4.2= 8 a todo: 16.x2 - 80.x = ‑ 96 3.‑ Sumamos b2 = 100 a ambos términos: 16.x2 - 80.x + 100 = 100 - 96 (4.x - 10)2 = 4 4.‑ Extraemos la raíz cuadrada: 4.x - 10 = +/- 2 5.‑ Restamos b = - 10 a los dos términos: 4.x = ‑ (- 10) +/- 2 6.‑ Dividimos a ambos términos entre 2.a = 2.2 = 4: x = (10 +/- 2) / 4  x1 = (10+2)/4 = 12/4 = 3 x2 = (10-2)/4 = 8/4 = 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejercicios Ejercicio 1 Sea x2 - 3.x + 2 = 0 a = 1 b = - 3 c = 2 - b +/- √(b2 – 4.a.c) x = ---------------------------- = 2.a - (- 3) +/- √(9 – 4.1.2) x = -------------------------------- = 2.1 + 3 +/- 1 (3 + 1) / 2 = 2 = x1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = 2 (3 – 1) / 2 = 1 = x2 Otra solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejercicios Ejercicio 2 Sea 3.x2 - 5.x + 2 = 0 a = 3 b = - 5 c = 2 - b +/- √(b2 – 4.a.c) x = ---------------------------- = 2.a - (- 5) +/- √(25 – 4.3.2) x = -------------------------------- = 2.3 + 5 +/- 1 (5 + 1) / 6 = 1 = x1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = 6 (5 – 1) / 6 = 4 / 6 = 2 / 3 = x2 Otra solución @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejercicios Ejercicio 3 Sea x2 + 6.x + 9 = 0 a = 1 b = 6 c = 9 - b +/- √(b2 – 4.a.c) x = ---------------------------- = 2.a - 6 +/- √(36 – 4.1.9) x = -------------------------------- = 2.1 - 6 +/- 0 (-6 + 0) / 2 = - 3 = x1 Una solución x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ = 2 (- 6 - 0) / 2 = - 3 = x2 Otra solución. Cuando b2 – 4.a.c = 0 el valor de las dos soluciones coincide, que es lo que ocurre en este ejemplo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ecuaciones BICUADRADAS ECUACIÓNES BICUADRADAS.‑ Son aquellas que, mediante un cambio de variable, se transforman en ecuaciones de segundo grado. Tiene la forma a.x4 + b. x2 + c = 0 Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: a.y2 + b. y + c = 0 , que es una ecuación de segundo grado. También tienen la forma a.x6 + b. x3 + c = 0 Si hacemos x3 = y , tenemos que x6 = y2 quedando: IMPORTANTE: En ambos casos hay que deshacer el cambio, pues hay que hallar el valor de la variable x , no de la variable y. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplo 1 Sea x4 - 13.x2 + 36 = 0 Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: y2 - 13. y + 36 = 0 , que es una ecuación de segundo grado. -(-13) +/- √[(-13)2 – 4.1.36] Resolviéndola: y = -------------------------------------- = 2.1 13 +/- √[169 – 144] 13 +/- √ 25 13 +/- 5 = ---------------------------- = ------------------ = -------------- = 9 y 4 2 2 2 Deshacemos el cambio: Si x2 = y = 9  x = +/- √ 9  x = +/- 3  x1 = 3 , x2 = -3 Si x2 = y = 4  x = +/- √ 4  x = +/- 2  x3 = 2 , x4 = -2 Que son las 4 raíces, ceros o soluciones de la ecuación dada. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplo 2 Sea 3.x4 - 74.x2 - 25 = 0 Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: 3.y2 - 74. y - 25 = 0 , que es una ecuación de segundo grado. -(-74) +/- √[(-74)2 – 4.3.(-25)] Resolviéndola: y = ----------------------------------------- = 2.3 74 +/- √[5476 + 300] 74 +/- √ 5776 74 +/- 76 = ---------------------------- = ---------------------- = -------------- = 25 y - 1 / 3 6 6 6 Deshacemos el cambio: Si x2 = y = 25  x = +/- √ 25  x = +/- 5  x1 = 5 , x2 = - 5 Si x2 = y = - 1/3  x = +/- √ - 1/3  x3 y x4 no son reales Que son las 4 raíces, dos reales y dos no reales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplo 3 Sea x6 - 9.x3 + 8 = 0 Si hacemos x3 = y , tenemos que x6 = y2 quedando: y2 - 9. y + 8 = 0 , que es una ecuación de segundo grado. -(-9) +/- √[(-9)2 – 4.1.8] Resolviéndola: y = ---------------------------------- = 2.1 9 +/- √[81 – 32] 9 +/- √ 49 9 +/- 7 = ----------------------- = ------------------ = -------------- = 8 y 1 2 2 2 Deshacemos el cambio: 3 Si x3 = y = 8  x = √ 8  x = 2  x1 = 2 , x2 y x3 no reales Si x3 = y = 1  x = √ 1  x = 1  x4 = 1 , x5 y x6 no reales Que son las 6 soluciones de la ecuación dada, de ellas sólo 2 son reales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.