El Método de la Matrix de Transferencia Pedro Pereyra Padilla Area de Física Teórica y Materia Condensada Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco, México D.F. Resumen Presentaremos una introducción al Método de la Matriz de Transferencia (MMT) y algunas aplicaciones en la teoría del transporte electrónico cuántico y en la opto-electrónica

El Método de la Matrix de Transferencia Pedro Pereyra Padilla Area de Física Teórica y Materia Condensada Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco, México D.F. INDICE Introduccíon La Matriz de Transferencia (MT) y su relación con la matriz S La MT de la barrera rectangular y el pozo cuántico. Efecto tunel y cuantización La Teoría de Sistemas Periódicos Fínitos. Estructura de bandas (eigenvalores y eigenfunciones). Aproximación de masa efectiva Semiconductores, dispositivos opto-electrónicos, heteroestructuras, (láseres). Paquetes Gaussianos en superredes ópticas Dinámica del spín en superredes magnéticas Conclusiones

Sistemas Periódicos El cálculo de los niveles de energía y de las eigenfunciones es el problema más importante en la descripción cuántica de los sólidos cristalinos Teoría Standard El teorema de Bloch (rigurosamente válido sólo cuando el sistema es infinito!!) establece que las funciones de onda de los sistemas periódicos son de la forma Todos los modelos diseñados para el cálculo de los niveles de energía de sistemas periódicos, como el modelo de electrones cuasi-libres, el de Kronig-Penney, los cálculos numéricos con pseudopotenciales, etc. concluyen que los niveles están agrupados en bandas contínuas (Teorías de Bandas Contínuas) Teoría de Sistemas Periódicos Finitos Utilizando el método de la matriz de transferencia, sin necesidad de las funciones de Bloch ni del espacio recíproco, se deducen fórmulas compactas y cerradas para la evaluación de los eigenvalores y eigenfunciones de los sistemas periódicos. Mostraremos que ni las bandas son contínuas ni las eigenfunciones periódicas!!

El coeficiente de transmisión al variar el número de celdas

… … Sistemas Periódicos* z0 z1 z2 z3 zn-1 zn V(z) lc M Si conocemos la MT de una celda unitaria, podemos describir al sistema completo Mn (zn ,z0 ) = M(zn ,zn-1 ) M(zn-1 ,zn-2 ) … M(z3 ,z2 ) M(z2 ,z1 ) M(z1 ,z0 ) * PP, J. Math Phys. 36, 1166 (1995), PP, Phys. Rev. Lett. 80, 2677 (1998), PP, J Phys. A 31,4521 (1998), PP & E. Castillo Phys. Rev. B 65, 205120 (2002).

… Sistemas Periódicos z0 z1 z2 zn-1 zn z3 bn = a bn-1 + b a*n-1 V(z) z0 z1 z2 zn-1 zn z3 lc Mn = M Mn-1 bn = a bn-1 + b a*n-1 bn=b pn-1 b a*n = bn+1 - a bn a* n = pn - a pn-1 a*n = b-1 bn+1 - b-1 a b b-1 bn an = pn - a* pn-1 pn-1 = b -1 bn a* n = pn - b-1 a b pn-1

… Sistemas Periódicos z0 z1 z2 zn-1 zn z3 bn=b pn-1 V(z) z0 z1 z2 zn-1 zn z3 lc Mn = M Mn-1 bn=b pn-1 bn = a bn-1 + b a*n-1 a*n = pn - a pn-1 a*n = b* b n-1 + a* a* n-1 an = pn - a* pn-1 pn - a pn-1 = b* b pn-2+ a* (pn-1 – a pn-2) pn - a pn-1 = b* b b-1 bn-1+ a* (pn-1 – a pn-2) pn – (a +a*) pn-1 +(a a* - b* b) pn-2 = 0 pn – (a +a*) pn-1 + pn-2 = 0 pn = Un(ar)

… Sistemas Periódicos z0 z1 z2 zn-1 zn z3 bn=b pn-1 an = pn - a* pn-1 V(z) z0 z1 z2 zn-1 zn z3 lc Mn = M Mn-1 bn=b pn-1 an = pn - a* pn-1 pn = Un(ar) * PP, J. Math Phys. 36, 1166 (1995), PP, Phys. Rev. Lett. 80, 2677 (1998), PP, J Phys. A 31,4521 (1998), PP & E. Castillo Phys. Rev. B 65, 205120 (2002).

Sistemas Periódicos E T1 1 n=1 1 2 n=2 T2 E 1 2 3 n=3 T3 E 1 2 … 10

Eigenvalores y eigenfunciones a) Sistemas abiertos. Niveles y Estados Resonantes … V(z) z0 z1 z2 zn-1 zn z3 lc |an |2 -|bn |2 =1

Eigenvalores y eigenfunciones a) Sistemas abiertos. Modelo de Kronig-Penney. Niveles y Estados Resonantes 1 2 3 n … z0 z1 z2 z3 zn-1 zn |an |2 -|bn |2 =1

Eigenvalores y eigenfunciones a) Sistemas abiertos. Modelo de Kronig-Penney. Niveles y Estados Resonantes

Eigenvalores y eigenfunciones La condición define las bandas

Eigenvalores y eigenfunciones a) Sistemas abiertos. Modelo de Kronig-Penney. Niveles y Estados Resonantes PP Ann. Phys. 320, 1 (2005)

Eigenvalores y eigenfunciones

Eigenvalores y eigenfunciones b) Eigenvalores de la energía en sistemas cerrados La anulación de las funciones de onda en los extremos implica le ecuación de eigenvalores PP Ann. Phys. 320, 1 (2005)

Eigenvalores y eigenfunciones b) Eigenvalores de la energía en sistemas cerrados PP Ann. Phys. 320, 1 (2005)

Eigenvalores y eigenfunciones b) Eigenvalores de la energía en sistemas cerrados Estados de Superficie

Eigenvalores y eigenfunciones b) Eigenvalores de la energía en sistemas cerrados Estados de Superficie

Eigenvalores y eigenfunciones b) Eigenvalores de la energía en sistemas cerrados Estados de Superficie PP Ann. Phys. 320, 1 (2005)

… 2 jil tnjil The Transfer Matrix Approach* z0 z1 z2 zn-1 zn For finite periodic systems (1D or 3D), with arbitrary potential profile, jil tnjil … z0 z1 z2 zn-1 zn we have developed the TMA and the Theory of Finite Periodic Systems (TFPS) The TFPS is valid for an arbitrary number of propagating modes, arbitrary number of cells and arbitrary potential profile This theory allows to calculate scattering amplitudes (transport properties, tunneling and transmission times of electrons and holes), energy eigenvalues and eigenfunctions, optoelectronic properties, spin transport properties, etc. * PP, PRL 80, 2677 (1998), PP, J Phys A 31,4521 (1998), PP & E. Castillo PRB 65, 205120 (2002), JL Cardoso, PP & A Anzaldo, PRB 63, 153301(2001), A Kunold & PP J Appl. Phys. 93, 5018 (2003), PP Ann. Phys. 320, 1 (2005),…

… jil tnjil Which are the most relevant results of the TFPS? resonant energies

Sistemas Periódicos Aplicaciones de la TSPF

1. Cálculo de tiempos de tunelaje y transmisión. Efecto superlumínico (PP, Phys. Rev. Lett. 84, 1772 (2000), H. Simajuntak, PP. Phys. Rev. B, 67, 045301 (2003), Phys. Rev. E, 75, 056604

¿Se puede tratar al potencial como potencial seccionalmente constante? 2. Láseres. El láser azul ¿Se puede tratar al potencial como potencial seccionalmente constante?

¿Se puede tratar al potencial como potencial seccionalmente constante? Antes de hacer cálculos en sistemas semiconductores específicos se hacen las siguientes tres consideraciones importantes: 1. Los electrones en una banda se mueven como si fueran libres (su coeficiente de transmisión es 1). 2. Los electrones se mueven en el cristal como si tuvieran una masa diferente (su MASA EFECTIVA) 3. En cada capa semiconductora hay una masa efectiva diferente y además un GAP característico

La metamorfosis que conduce a potenciales constante ¿Cómo se da este proceso en las estructuras semiconductoras si sabemos que en los átomos individuales los electrones “sienten” potenciales que tienen una enorme complejidad, que además aumenta con el tamaño de los átomos? z V(z) V(z) z + + En los cristales semiconductores el potencial es, además de complejo, periódico z + V(z)

La periodicidad permite es fundamental en la metamorfosis del potencial que utilizaremos para los electrones de valencia en las estructuras semiconductoras V(z) z cuando resolvemos la ecuación de Schröedinger para los electrones de valencia, se encuentra que su nivel de energía y los que siguen se multiplican formando las bandas de valencia y de conducción* V(z) z Eg

En un cristal los electrones se mueven como si fueran partículas libres y además como si tuvieran una masa menor.

En un cristal los electrones se mueven como si fueran partículas libres y además como si tuvieran una masa menor. En la física del estado sólido existe todo un Zoológico de masas para los electrones, las masas efectivas definidas como La mayor parte de las masas efectivas se obtienen esperimentalmente, por ejemplo de experimentos transporte en campo magnético B.

Por esta razón, con cada dirección cristalina de los semiconductores se asocia una estructura de bandas de valencia y de conducción, junto con las correspondientes masas efectivas. AlAs GaAs m*G =0.07 me m*A =0.1 me creación del par e-h E E Bc 1.51 eV 2.68 eV recombinación Bv gap de energía z z

En consecuencia, si tenemos una heteroestructura semiconductora homogénea podemos estudiar estudiamos al sistema como si los electrones se movieran en un potencial constante con una masa igual a su masa efectiva. En 1D ¿Cómo se producen las heteroestructuras y cómo trabajamos en la AME ?

¿Cómo se producen las heteroestructuras y cómo trabajamos en la AME ? Desde hace poco más de 30 años la técnica de crecimiento de cristales sobre sustratos cristalinos ha ido perfeccionándose continuamente. Actualmente, utilizando haces moleculares o por evaporación, se crecen cristales constituidas por un número finito de monocapas atómicas. sustrato crecimiento epitaxial Estas técnicas han permitido crecer capas cristalinas con el espesor deseado !!

Si sobre la estructura cristalina del tipo A se crece otra del tipo B y sobre esta otra vez una capa cristalina del tipo A A B A heteroestructura E Si EgA < EgB EgA EgB

Si sobre la estructura cristalina del tipo A se crece otra del tipo B y sobre esta otra vez una capa cristalina tipo A A B A EgA EgB E Si EgB < EgA

Las técnicas de crecimiento de estructuras semiconductoras cristalinas permiten crear diferentes perfiles de potencial.

De esta forma se producen también estructuras periódicas artificiales, las superredes, con parámetros de red y materiales escogidos a voluntad lc En estos sistemas es más elocuente la finitud del sistema periódico

De esta forma se producen también estructuras periódicas artificiales, las superredes, con parámetros de red y materiales escogidos a voluntad subbandas lc lc En estos sistemas es más elocuente la finitud del sistema periódico

2. Láseres. El láser azul

Theoretical Model To study the electron-field interaction inside the superlattice (SL), we consider the Hamiltonian HI describes the electron-field interaction, HEM the transversal field Vq(z) (q=e,h) is the confining potential in the SL (including the cladding layers). The particle-field interaction HI is treated as a perturbation term. To solve the non-perturbed part we use the TFPS.

In this approach, based on the transfer matrix method, one can calculate the ν-th energy eigenvalue Ebμ,v and Ψbμ,v in the μ-th subband of the conduction and valence band are obtained from: The coefficients hw and fw are:

A. Kunold, PP, J. Appl. Phys. 93, 5018 (2003)

A. Kunold, PP, J. Appl. Phys. 93, 5018 (2003)

A. Kunold, PP, J. Appl. Phys. 93, 5018 (2003)

exp

The barrier thickness effect L constant L variable We observe a blue shift keeping the well thickness constant.

The well thickness effect L constant L variable We observe a red shift keeping the barrier thickness constant.

The effect of the number of cells As could be expected, Χ decreases as n grows, while the gaps are better defined. Intense and thin lineshapes only for n=8 and n=9