Curso de Semiconductores reunión 5 Prof. José Edinson Aedo Cobo, Msc. Dr. Eng. Departamento de Ingeniería Electrónica Grupo.

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1 Curso de Semiconductores reunión 5 Prof. José Edinson Aedo Cobo, Msc. Dr. Eng. E-mail: joseaedo@udea.edu.co Departamento de Ingeniería Electrónica Grupo de Microelectrónica - Control Universidad de Antioquia

2 Cálculo de la densidad de estados Ec Ev Cuántos estados por unidad de energía por unidad de volumen habrán en cada banda ? Si tenemos el diagrama de bandas de energía, necesitamos saber cuantos estados disponibles existen en cada banda y si esos estados están ocupados por electrones o huecos: Para calcular la densidad de estados usaremos el modelo del electrón libre y se considerará el efecto del cristal por medio de la masa efectiva.

3 Modelo del electrón libre Consideraremos el modelo del electrón libre en una caja de potencial Tridimensional (sometido al principio de exclusión de Pauli): Caso unidimensional: E W=∞ W=0 x=0 x=a El electrón esta confinado en una caja de potencial

4 Modelo del electrón libre Si consideraremos el modelo del electrón libre en una caja de Potencial Tridimensional (sometido al principio de exclusión de Pauli): La energía sería:

5 Cálculo de la densidad de estados n1n1 n2n2 n3n3 1 1 1 Primer estado permitido con E 111 R2R2 Si consideramos puntos discretos, el volumen en este sistema nos establecería una cota superior sobre el número de puntos Disponibles. Cada punto es un estado disponible.

6 Cálculo de la densidad de estados n1n1 n2n2 n3n3 1 1 1 El volumen establecido en el primer octante: R como Luego:

7 Cálculo de la densidad de estados n1n1 n2n2 n3n3 1 1 1 Considerando el volumen igual al número de Estados N: R como Luego: Considerando que en cada punto existen dos estados debido al Spin:

8 Cálculo de la densidad de estados n1n1 n2n2 n2n2 1 1 1 R N es una cota superior para el número de estados que tienen energía menor o igual a E. La densidad de estados por unidad de energía (g´) estará dado por:

9 Cálculo de la densidad de estados La densidad de estados por unidad de energía (g´) está dado por: Si dividimos por el volumen (a 3 ) tendremos la densidad de estados por unidad de energía por unidad de volumen (g): Este modelo lo utilizaremos para estimar la densidad de estados en la banda de conducción y de valencia. Para tener en cuenta el efecto de la red cristalina se sustituirá m por m*

10 Cálculo de la densidad de estados La densidad de estados por unidad de energía por unidad de volumen considerando que los electrones tienen masa efectiva m*: NOTA: Este modelo de densidad de estados se utiliza para modelar los Estados en la banda de valencia y de la banda de conducción en los semiconductores. N(E) Observe: E -> 0 entonces N(E) -> 0

11 Cálculo de la densidad de estados Modelo de la densidad de estados en la banda de conducción: se utiliza el modelo Del electrón libre considerando que su masa en el semiconductor es m*. La energía mínima es E C para los electrones que están en la banda de conducción: ECEC EVEV Se debe contabilizar el número de estados de acuerdo a la energía Usando el modelo del electrón libre (modificado): ECEC ECEC EVEV Observe: Si E -> E C, (E-E C ) -> 0 Luego N(E) -> 0 Válido para E ≥ E C N(E)

12 Cálculo de la densidad de estados Para el caso de la banda de valencia, los portadores son los hueco que tienen una masa efectiva m p * : Se debe contabilizar el número de estados de acuerdo a la energía Usando el mismos modelo pero considerando los huecos: ECEC Observe: Si E -> E V, (E V -E) -> 0 Luego N(E) -> 0 ECEC EVEV ECEC EVEV Válido para E ≤ E V N(E) E

13 Modelo para calcular la densidad de estados en la banda de conducción: Semiconductores intrínsecos N(E)

14 Función de distribución de Fermi-Dirac La función establece la probabilidad que un estado con energía E esté ocupado si la temperatura es T E F es la energía de Fermi K es la constante de Boltzmann T temperatura absoluta

15 Función de distribución de Fermi-Dirac Energía de Fermi

16 Cálculo de la densidad de huecos y electrones Para hacer más fáciles los cálculos se utiliza la aproximación de Boltzmann: La probabilidad que un estado esté ocupado: El error cometido al usar esta función con relación a la distribución de Fermi-Dirac es menor de 5% si E-E F  3KT La probabilidad que esté desocupado: El error cometido al usar esta función con relación a la distribución de Fermi-Dirac es menor de 5% si E F -E  3KT

17 Cálculo de la densidad de huecos y electrones Para calcular la densidad de portadores se requiere conocer la densidad de estados disponible y la probabilidad que estos estados estén ocupados: Densidad de estados para electrones Probabilidad que los estados estén ocupados Densidad de estados para huecos Probabilidad que los estados estén desocupados

18 Cálculo de la densidad de huecos y electrones Cálculo de la densidad de electrones en la banda de conducción y de huecos y la banda de valencia (usando la aproximación de Boltzmann):

19 Cálculo de la densidad de huecos y electrones Resolviendo las integrales anteriores: Densidad efectiva de Estados de conducción Densidad efectiva de estados de valencia Semic. N C (cm -3 ) N V (cm -3 ) Eg(eV) Si 3.22x10 19 1.83x10 19 1.12 Ge 1.03x10 19 5.35x10 18 0.66 GaAs 4.21x10 17 9.52x10 18 1.42 Se asume que T=300K:

20 Concentración intrínseca (n i ) Densidad intrínseca (cm -3 ) En un semiconductor intrínseco el número de electrones es igual al número de huecos: n = p

21 Nivel de Fermi en un semiconductor intrínseco El nivel de Fermi en un semiconductor intrínseco está localizado muy cerca de la energía de la mitad del “gap” de energía Haciendo n=p se obtiene: ECEC EVEV E i =E F mitad E g /2 Silicio

22 Resumen de las ecuaciones útiles para semiconductores intrínsecos Cálculo de la densidad de huecos y electrones: Se asume que E c – E F > 3 KT o E F - E v > 3KT Con:

23 Resumen de las ecuaciones útiles para semiconductores intrínsecos Densidad intrínseca: constante

24 semiconductor extrínsecos Para efectos de modificar ciertas características de un semiconductor se introducen impurezas: átomos diferentes a los que constituyen la red cristalina. Si las impurezas si se introducen en una cantidad moderada modifican propiedades tales como: -El número de portadores: electrones huecos disponibles. -La conductividad del semiconductor ( se estudiará en el próximo capítulo) - La movilidad de los portadores (se estudiará en el próximo capítulo)

25 Introducción Compuesto III-V puros Tabla periódica Fuente: “Fundamentos de semiconductores”

26 semiconductores extrínsecos Se adicionan impurezas: átomos de la columna III (aceptadores) o de la columna V (donadores) de la tabla periódica Se adicionan átomos de fósforo (P) de la columna V (donadores)

27 semiconductores extrínsecos Impurezas donadoras: modifican la cantidad (aumentan) de electrones Energía de ionización de los donadores más usados (silicio): Fósforo 0.044 eV Arsénico 0.049 eV Antimonio 0.039 eV

28 semiconductores extrínsecos Se adicionan átomos de boro (B) de la columna III (aceptadores)

29 semiconductores extrínsecos Impurezas aceptadoras: modifican la cantidad (aumentan) de huecos Energía de ionización de los aceptadores más usados (en silicio): Boro 0.045 eV Aluminio 0.057 eV Galio 0.065 eV

30 semiconductores extrínsecos Densidad de portadores (n 0 es la densidad de electrones y p 0 la den- sidad de huecos): Condición de neutralidad de carga: Densidad de aceptadores densidad de donadores

31 semiconductores extrínsecos Resolviendo las dos ecuaciones simultaneas: Asumiendo que N D > N A la solución será:

32 semiconductores extrínsecos Resolviendo las dos ecuaciones simultaneas: Asumiendo que N A > N D la solución será:

33 semiconductores extrínsecos Caso especial: cuando se dopa con donadores N D únicamente (N A =0) Siendo N D >> n i Cuando se dopa con aceptadores únicamente con N A >> n i (con N D =0) y y

34 semiconductores extrínsecos Caso especial: cuando se dopa con donadores N D únicamente (N A =0) Siendo N D >> n i 100 200 300 400 500 600 700 T (K) 0.5 1.5 1.0 Zona extrínseca Zona intrínseca n/N D Ejercicio: realizar la gráfica: ln(n) Vs. (1/T).

35 semiconductores extrínsecos Cuando se dopa con aceptadores únicamente con N A >> n i (con N D =0) y y Cuando se dopa con donadores únicamente con N D >> n i (con N A =0)

36 semiconductores extrínsecos Otras expresiones para el cálculo de la densidad de portadores: Ejercicio: Demostrar las expresiones anteriores. Ver capitulo 3 del libro de Kanann Kano

37 Semiconductores extrínsecos Nivel de Fermi de los semiconductores extrínsecos Semiconductor tipo N (únicamente donadores) Semiconductor tipo P (únicamente aceptadores): ECEC EVEV EiEi E g /2 EFEF ECEC EVEV EiEi EFEF