Apuntes 2º Bachillerato C.T. VECTORES EN EL ESPACIO U.D. 9 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. COMBINACIÓN LINEAL U.D. 9.3 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

COMBINACIONES LINEALES Un vector v del espacio vectorial V3 es combinación lineal de los vectores v1, v2, … , vn de V3 si puede expresarse de la forma: v = α.v1 + β.v2 + λ.v3 + … + μ.vn , con α, β, λ, …, μ є R PROPIEDADES Cualquier vector v є V3 es combinación lineal de si mismo. v = 1.v , con 1 є R El vector nulo 0 є V3 es combinación lineal de cualquier vector v y de su opuesto, -v. 0 = λ .v + λ .(-v) , para Vλ є R El vector nulo 0 є V3 es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores v1, v2 , v3 , … vn , de V3 . 0 = 0.v1 + 0.v2 + 0.v3 + … + 0.vn , con 0 є R @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Ejemplos EJEMPLO 1 Sea el vector w=( 0, 13, 6) y los vectores u=(1, 2, 3) y v=(-4, 5, -6). ¿Es w combinación lineal de u y v?. Solución w=λ.u+μ.v (0, 13, 6)= λ.(1, 2, 3)+μ.(-4, 5, -6) (0, 13, 6)= (λ.1, λ.2, λ.3)+(μ.(-4), μ.5, μ.(-6)) 0 = λ.1 – 4 μ 13 = λ.2 + μ.5 6 = λ.3 – 6.μ Resolviendo el sistema: λ = 4 , μ = 1 Para dichos valores de los escalares λ y μ, el vector w es combinación lineal de u y v. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Ejemplos EJEMPLO 2 Sea el vector w=( 0, 1, 3) y los vectores u=(1, 0, 0) y v=(0, 1, 0). ¿Es w combinación lineal de u y v?. Solución w=λ.u+μ.v (0, 1, 3)= λ.(1, 0, 0)+μ.(0, 1, 0) (0, 1, 3)= (λ.1, λ.0, λ.0)+(μ.0, μ.1, μ.0) 0 = λ.1 1 = μ.1 3 = 0 Resolviendo el sistema: λ = 0 , μ = 1 Pero no existe ningún par de valores λ y μ, que haga 3 = 0, luego el vector w no es combinación lineal de u y v. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. SISTEMA GENERADOR Dado un espacio vectorial siempre es posible encontrar una serie de vectores a partir de la cual, mediante combinaciones lineales, podemos obtener cualquier vector perteneciente a dicho espacio vectorial. Un conjunto S=(v1, v2, ….vn) de vectores de un espacio vectorial V3, es un sistema generador de dicho espacio si cualquier vector v del mismo se puede expresar como combinación lineal de los vectores de S. v = α.v1 + β.v2 + λ.v3 + … + μ.vn , con α, β, λ, …, μ є R EJEMPLOS v = (2, 3, – 4 )= 2.(1, 0 , 0) + 3.(0, 1, 0) + (– 4).(0, 0, 1) v = (2, 3, – 4 )= 1.(1, 1 , 1) + 3.(0, 1, – 2) + 1.(1, – 1 , 1) v = (2, 3, – 4 )= 2.(1, 2 , 3) + (– 2).(3, 2, 1) + 1.(6, 3, – 8) Como vemos un mismo vector puede expresarse como combinación lineal de otros vectores de muchas formas diferentes. En nuestro ejemplo cada tría (v1 , v2 , v3) de diferentes vectores es un sistema generador del vector v, lo que llamaremos BASE. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. DEPENDENCIA LINEAL Se dice que n vectores, v1, v2, ….vn , de un espacio vectorial V, son linealmente dependientes cuando alguno de ellos es combinación lineal de los demás. Al conjunto S=(v1, v2, ….vn) formado por dichos vectores se le denomina conjunto ligado o linealmente dependiente. Asimismo un conjunto S=(v1, v2, ….vn) de vectores es libre o linealmente independiente cuando ninguno de ellos es combinación lineal de los demás. EJEMPLO v1= (1, 2, 3), v2 = (4, 5, 6), v3 = (5, 7, 9) El conjunto S=(v1, v2, v3) es un conjunto ligado o linealmente dependiente, pues v3 = v1 + v2 El tercer vector es combinación lineal de los dos primeros. También se dice que depende linealmente de los dos primeros. v3 = α.v1 + β.v2 , con α=1, β=1 / α, β є R @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. INDEPENDENCIA LINEAL DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL Sean u y v dos vectores de R3 y α,ßR. El vector w = αu+ßv se dice que es una combinación lineal de los vectores u y v. También se suele decir que depende linealmente de u y v. EJEMPLO: (3,16,5) = 2(3,5,1) + 3(-1,2,1) Dos vectores u, v  R3 son linealmente dependientes si existen dos escalares α,ßR, al menos uno de ellos no nulo, tales que αu+ßv=0. EJEMPLO: (3,2,1) y (6,4,2) son lin. dependientes, pues existen α=2 y ß=-1 tales que: 2(3,2,1)+(-1)(6,4,2)=(0,0­,0). Los vectores u y v son linealmente independientes cuando αu+ßv=w implica que α=0 y ß=0. EJEMPLO: (4,3,0) y (1,2,5) son linealmente independientes pues de α(4,3,0)+ß(1,2,5) = (4α,3α,0)+(ß,2ß,5ß) = (4α+ß,3α+2ß,5ß) = (0,0,0)  α=0 y ß=0. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO 1 v1= (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 1) Miramos si son linealmente independientes: λ1.v1 + λ2.v2 + λ3.v3 = 0 λ1.(1,0,0) + λ2.(0,1,0) + λ3.(0,0,1) = 0 (λ1,0,0) + (0,λ2,0) + (0,0,λ3) = 0 (λ1,λ2,λ3) = 0  (λ1,λ2,λ3) = (0,0,0)  λ1 = 0, λ2 = 0 , λ3 = 0 Vemos que todos los coeficientes escalares son ceros. Luego el conjunto S=(v1, v2,v3) es un conjunto linealmente independiente. EJEMPLO 2 v1= (1, 2, 3), v2 = (4, 5, 6), v3 = (2, 4, 6) Miramos si son linealmente dependientes: Vemos que: 2.v1 + 0.v2 + (- 1).v4 = 0 Para λ1 = 2, λ2=0, y λ3 = (-1) Luego el conjunto S=(v1, v2,v3) es un conjunto ligado o linealmente dependiente, al no ser todos los coeficientes ceros. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.